급수와 등비급수

핵심 정리

수열 \{a_n\} 의 첫째항부터 제 n 항까지의 합 S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k 를 부분합이라 한다. 급수 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n 이 수렴한다는 것은 \lim_{n\to\infty}S_n 이 유한한 값으로 존재한다는 뜻이고, 그 값이 급수의 합이 된다. 공비가 r 인 등비급수 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1} (a\neq0) 의 부분합은 S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r} 이다. 단, 공비가 1인 경우에는 이 공식 대신 부분합을 첫째항의 n배로 계산한다. 수렴 여부는 r^n 의 극한으로 정해진다. 등비급수는 공비의 절댓값이 1보다 작을 때만 수렴한다. 수렴할 때 합은 \dfrac{a}{1-r} 이며, 첫째항을 분자에, 1에서 공비를 뺀 값을 분모에 둔다. 급수가 수렴하면 \lim_{n\to\infty}a_n=0 이 반드시 성립한다. 그 역은 성립하지 않는다. 부분분수로 나누어 앞뒤 항만 남는 급수는 소거 꼴이다. \dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac1n-\dfrac{1}{n+1} 이므로 부분합은 1-\dfrac{1}{n+1} 이 되어 합은 1 이다. 상수배는 그대로 따라 나와서 \dfrac{16}{n(n+1)} 의 합은 16 이다. 분자와 분모가 모두 0 으로 가는 것처럼 보여도 최고차항으로 나누면 극한이 정해진다.가장 큰 차수의 항만 남겨 본다. 지수가 섞인 식은 밑이 큰 항이 지배하며, 그 항과 같은 비율로 자라야 극한이 0 이 아닌 유한한 값이 된다.

자세히

등비급수 공식은 부분합을 직접 계산해 얻는다. S_n=a+ar+\cdots+ar^{n-1} 의 양변에 r 을 곱해 빼면 (1-r)S_n=a(1-r^n) 이 되고, r\neq1 이면 S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r} 이다. 이 식에서 n\to\infty 일 때 r^n 이 0 으로 가는지, 발산하는지가 급수의 운명을 결정한다. 공비의 범위에 따른 모습을 표로 정리하면 다음과 같다.

예를 들어 a=3, r=\dfrac12 이면 합은 \dfrac{3}{1-\frac12}=6 이다. 부호가 섞인 급수에서는 \lvert a_n\rvert+a_n 과 \lvert a_n\rvert-a_n 을 따로 본다. a_n 이 양수이면 \lvert a_n\rvert+a_n=2a_n, 음수이면 0 이므로 \sum(\lvert a_n\rvert+a_n) 은 양의 항 합의 두 배가 된다. 같은 방식으로 \lvert a_n\rvert-a_n 은 음의 항 절댓값 합의 두 배다. 이렇게 두 값을 따로 구하면 항의 부호가 한쪽으로 몰려 있어도 계산이 나뉜다. 등비수열에서 짝수 번째 항만 모으면 a_{2n}=ar^{2n-1} 이므로 짝수 번째는 공비 제곱인 등비수열이 된다. 같은 원리로 3의 배수 번째 항은 공비가 r^3 이다. 절댓값을 씌운 \lvert a_{2n}\rvert 의 합은 \dfrac{\lvert a\rvert\lvert r\rvert}{1-r^2} 이고, \rho=\lvert r\rvert 로 두면 조건이 \rho 의 이차방정식이 된다. 넓이를 반복해서 더하는 도형 문제는 닮음비로 푼다. 닮음비가 k 이면 넓이는 k^2 배가 되고, 단계마다 같은 비율로 줄어드는 넓이들의 합이 등비급수가 된다. 길이 비로 넓이 비를 세운 뒤 극한을 등비급수 공식으로 낸다. 단계마다 새로 생기는 조각의 개수가 늘어나는 경우에는 개수와 넓이 비의 곱이 공비가 된다. 첫째항과 공비가 함께 미지수일 때는 두 조건을 식으로 세워 연립한다. 한 식에서 첫째항을 공비로 나타내 다른 식에 대입하면 공비의 방정식이 되고, 공비를 구한 뒤 첫째항을 얻는다. 극한에서 9\cdot16^n+4^n 처럼 여러 지수항이 섞이면 가장 큰 밑을 가진 16^n 항이 극한을 정한다. 분자와 분모를 이 항으로 나누면 나머지 항은 0 으로 간다.

대표 기출 풀이

① 등차·등비수열 조건으로 p+q 구하기 등차수열과 등비수열의 조건으로 공차를 정하고, 등비수열 조건으로 k 를 찾은 뒤 급수 두 값으로 p+q 를 구하는 것을 묻는다.