넓이와 이동 거리

핵심 정리

넓이와 이동 거리는 모두 정적분으로 구한다. 닫힌 구간 [a,b]에서 연속인 함수 f(x)에 대하여 곡선 y=f(x), x축, 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 부분의 넓이는 \displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx이다. x축 아래 부분의 정적분은 음수가 되므로 넓이로 읽으려면 절댓값을 씌워야 한다. 실제 계산에서는 f(x)=0의 해를 기준으로 구간을 나누고, 각 구간에서 절댓값을 벗겨 f(x) 또는 -f(x)를 적분한다. 절댓값을 벗긴 뒤 적분한다. 두 곡선 y=f(x), y=g(x) 사이의 넓이는 \displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx로 쓴다. 두 곡선이 교점에서 위아래 관계를 바꾸므로 교점마다 구간을 나눈다. 교점의 x좌표가 구간의 경계가 된다. 두 곡선 사이 넓이는 위 곡선에서 아래 곡선을 뺀 차를 적분한 값이다. 이동 거리는 같은 계산 구조를 가진다. 수직선 위를 움직이는 점의 속도가 v(t)이면 t=a부터 t=b까지의 변위는 \displaystyle\int_a^b v(t)\,dt이고, 변위는 음수가 될 수 있다. 움직인 거리는 속도의 절댓값을 적분해야 구한다. 이때 속도의 부호가 바뀌는 시각에서 구간을 나눈다.

자세히

정적분 \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx는 f(x)\ge 0인 구간에서 곡선과 x축 사이 넓이와 같다. 함수값이 음수인 구간에서는 같은 식이 음수를 내놓으므로, 양수와 음수를 한데 묶으면 두 부분이 서로 상쇄되어 실제보다 작은 값이 나온다. 그래서 적분 구간 안에서 f(x)=0이 되는 점을 먼저 찾고, 그 점 앞뒤에서 f(x)의 부호를 표로 확인하는 것이 첫 단계가 된다. 부호 표를 만든 뒤에는 구간마다 절댓값을 벗긴다. 예를 들어 f(x)=x-1을 [0,2]에서 적분하면 \displaystyle\int_0^2 (x-1)\,dx=0이어서 넓이가 아니다. 넓이는 \displaystyle\int_0^1 (1-x)\,dx+\int_1^2 (x-1)\,dx=\dfrac12+\dfrac12=1이다. 두 곡선 사이의 넓이는 두 식의 차 h(x)=f(x)-g(x)를 만들고 h(x)=0의 해를 구하는 것에서 시작한다. 해를 \alpha<\beta라 하면 [\alpha,\beta]에서 h(x)의 부호는 일정하다. h(x)\ge 0이면 넓이는 \displaystyle\int_\alpha^\beta h(x)\,dx이고, h(x)\le 0이면 그 값에 -1을 곱한다. 적분식의 앞쪽 함수가 항상 위쪽 곡선이 되도록 세우는 것이 실수를 줄이는 방법이다. 그래프가 주어진 문항에서는 색칠된 부분이 어느 곡선 사이인지 식과 대조한다. 교점이 여러 개면 교점마다 같은 과정을 되풀이하고 구간별 값을 더한다. y축과 곡선 사이의 넓이는 적분 변수가 x이고 구간의 왼쪽 끝이 x=0이다. 두 곡선과 y축으로 둘러싸인 부분은 교점의 x좌표 \alpha를 경계로 0\le x\le\alpha와 \alpha\le x\le 2의 두 덩어리로 나뉘는 경우가 많다. 두 덩어리의 넓이를 따로 세운 뒤 조건을 식으로 옮긴다. 넓이를 둘로 나누는 직선 x=k를 구하는 문항도 같은 방법을 쓴다. 이등분 문제는 전체 넓이를 먼저 구하고 한쪽 넓이가 그 절반이 되도록 식을 세운다. 적분 구간의 끝이 움직이면 넓이를 t의 함수로 세우고 미분하여 극값을 찾는다. 이동 거리 쪽은 과정이 더 명확하다. 위치 x(t)가 주어지면 속도는 v(t)=x'(t)이고, t=a부터 t=b까지의 위치 변화는 x(b)-x(a)로 변위와 같다. 움직인 거리를 구하려면 속도의 부호가 바뀌는 시각 t_1을 찾아 [a,t_1]과 [t_1,b]에서 |v(t)|를 따로 적분하고 더한다. 예를 들어 v(t)=t-1이면 변위는 \displaystyle\int_0^2 (t-1)\,dt=0이고 거리는 \displaystyle\int_0^1 (1-t)\,dt+\int_1^2 (t-1)\,dt=1이다. 점의 위치가 (x(t),y(t))로 주어지면 속력은 \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}이고 이동 거리는 속력을 적분한다. 이때 속력의 제곱이 완전제곱 꼴로 정리되면 적분이 간단해진다. 아래 표는 네 경우를 한 번에 정리한 것이다.

정적분 계산 자체도 이 개념의 바탕이다. 구간을 나누어 더하는 성질 \displaystyle\int_a^c f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx를 쓰면 나눈 구간마다 따로 계산할 수 있다. 대칭구간에서 홀수차 항의 적분은 0이므로 짝수차 항만 남긴다는 사실도 계산을 줄인다. 다항식의 부정적분은 x^n을 \dfrac{x^{n+1}}{n+1}로 바꾸는 규칙으로 얻는다.