정적분으로 정의된 함수

핵심 정리

f(t) 가 구간 전체에서 연속이고 a 가 상수일 때, F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt 를 정적분으로 정의된 함수라 한다. 위끝 x 는 함수의 입력이고 적분 변수는 t 이다. 따라서 피적분함수 안에는 x 대신 적분 변수를 써야 한다.

상한이 변수인 정적분을 x 로 미분하면 피적분함수의 t 자리에 x 를 넣은 f(x) 가 된다. 이것이 이 절의 중심 공식 \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=f(x) 다. 왜 성립하는지는 x 가 h 만큼 늘 때 넓이가 높이 f(x) 와 너비 h 의 곱에 가까워진다는 데서 알 수 있다. 이 공식은 f 가 연속일 때 성립한다.

정적분 함수는 하한에서 F(a)=0 을 만족한다. 조건식에 x=a 를 넣으면 남은 상수가 정해진다.

구간의 성질도 함께 쓴다. 적분 구간의 양 끝을 바꾸면 부호가 바뀐다 는 \displaystyle\int_a^b f(t)\,dt=-\displaystyle\int_b^a f(t)\,dt 이고, 상한과 하한이 같으면 적분값은 0 은 \displaystyle\int_a^a f(t)\,dt=0 이다. 구간을 나누는 덧셈 \displaystyle\int_a^c f(t)\,dt=\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt+\displaystyle\int_b^c f(t)\,dt 는 두 정적분의 차를 한 구간의 적분으로 모을 때 쓴다.

상한이 x 의 식 u(x) 이면 합성함수의 미분을 쓴다. \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x) 이다. 하한이 변수 x 인 식은 같은 공식에 하한이 변수면 부호가 반대 를 적용한다.

자세히

정적분으로 정의된 함수 F(x) 의 뜻은 그래프로 보면 분명하다. y=f(t) 의 그래프와 t 축 사이에서 t=a 부터 t=x 까지의 넓이가 F(x) 이다. x 가 h 만큼 늘면 넓이는 밑변이 h 이고 높이가 대략 f(x) 인 좁은 띠만큼 늘어난다. 따라서 차분 \dfrac{F(x+h)-F(x)}{h} 는 h 가 0 에 가까워질 때 f(x) 에 가까워진다. 이것이 F'(x)=f(x) 이다. 띠의 높이가 한 값으로 정해져야 하므로 이 설명은 f 가 연속일 때 성립한다.

적분 변수는 t 를 쓰든 u 를 쓰든 적분값이 같다. 그래서 \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt 와 \displaystyle\int_a^x f(u)\,du 는 같은 함수다. 반면 피적분함수에도 x 가 들어가는 식에서는 x 가 상한과 피적분함수의 매개변수라는 두 역할을 한다. 따라서 이 식에는 기본 미분 공식을 바로 쓸 수 없다. 하한이 x 인 \displaystyle\int_x^b f(t)\,dt 는 상한과 하한의 자리가 바뀐 식이므로 미분값에 부호가 붙는다. 상한과 하한의 역할을 헷갈리면 답의 부호가 바뀐다.

부정적분과 비교하면 차이가 분명하다. 부정적분 \displaystyle\int f(x)\,dx 는 미분하면 f(x) 가 되는 함수 전체의 모임이라 상수 C 가 붙는다. 정적분으로 정의된 함수는 하한 a 를 고정한 함수 하나이며, F(a)=0 이 상수 C 를 대신 정한다. f'(x) 를 적분한 뒤 f(0) 값으로 상수를 정하는 문항도 같은 원리다. 아래 표는 두 개념의 차이를 보여 준다.

조건을 활용할 때는 다음 순서로 계산한다. 첫째, 조건식에서 적분 구간과 변수가 어디에 있는지 확인한다. 둘째, 조건식의 양변을 미분한다. 셋째, 미분한 식에 조건값을 넣어 상수가 남아 있으면 그 값을 구한다. 넷째, 구한 함수를 처음 조건식에 다시 넣어 맞는지 확인한다.

간단한 수로 확인해 보자. f(t)=2t 이면 F(x)=\displaystyle\int_0^x 2t\,dt=x^2 이고, F(3)=9 는 밑변 3, 높이 6 인 삼각형의 넓이 \dfrac12\cdot3\cdot6=9 와 같다. 상한에 식이 오는 경우도 확인하자. G(x)=\displaystyle\int_0^{x^2} t\,dt 는 G(x)=\dfrac{x^4}{2} 이고 G'(x)=2x^3 이다. 공식 f(u(x))\,u'(x) 에 f(t)=t, u(x)=x^2 을 넣으면 x^2\cdot2x 가 되어 같은 값이 나온다.

정적분 값은 x 축 위쪽 넓이에서 아래쪽 넓이를 뺀 부호 있는 값이다. 따라서 f 의 부호가 바뀌는 구간에서는 F 가 늘었다가 줄 수 있다. F'(x)=f(x) 이므로 F 는 f 의 부호에 따라 증가하거나 감소한다. 내부점에서 극값이 생기려면 f 의 부호가 바뀌어야 한다. 극값을 묻는 문항은 이 원리를 쓴다. 정적분 식 g(x) 를 미분해 g'(x) 의 부호를 따져 극값의 개수를 센다.