부정적분과 정적분

핵심 정리

부정적분은 도함수가 f(x) 인 함수를 찾는 연산이다. F'(x)=f(x) 이면 \int f(x)\,dx=F(x)+C 로 쓰고, C 를 적분상수라 한다. 미분하면 상수가 사라지므로 부정적분은 한 함수가 아니라 C 만큼 위아래로 옮긴 함수들의 모임이다. 부정적분은 미분의 역연산이고 적분상수 C를 반드시 붙인다.

정적분은 구간 [a,b] 에서 f 의 값을 실수 하나로 나타낸 것이다. 미적분학의 기본정리에 따라 F(x) 가 f(x) 의 부정적분이면 \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) 이다. 이 차이에서는 C 가 사라지므로 정적분을 계산할 때 적분상수를 쓰지 않는다. 정적분은 부정적분의 두 끝점 값의 차이로 구한다.

극한으로 된 합도 정적분으로 바뀐다. 구간 [0,1] 을 n 등분하면 한 간격의 너비가 \frac{1}{n} 이므로 \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)\,dx 가 된다. 합 기호 안의 계수가 간격 너비와 다르면 간격 너비를 곱하는 꼴로 고쳐 쓴다. 극한으로 된 합은 정적분으로 바꿔 계산한다.

치환적분은 식이 복잡할 때 쓰는 방법이다. u=g(x) 로 놓으면 du=g'(x)\,dx 이고, 정적분에서는 적분 구간도 u 의 값으로 바꿔야 한다.

자세히

첫째, 부정적분은 미분 공식을 거꾸로 읽어 찾는다. 예를 들어 \frac{d}{dx}x^3=3x^2 이므로 \int 3x^2\,dx=x^3+C 이다. 같은 방식으로 \frac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x 이므로 \int \sin x\,dx=-\cos x+C 가 된다. 부호는 미분해서 원래 식이 나오는지 확인하면 가장 확실하다.

로그함수는 \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C 가 대표적이다. 이 식은 (x\ln x-x)'=\ln x 로 확인된다. 실제로 (x\ln x)'=\ln x+1 이므로 상수 -1 을 빼야 맞다.

둘째, 정적분은 부정적분 하나를 구한 뒤 두 끝점에 대입하여 뺀다. 식으로는 \left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a) 이며, 대입 순서를 항상 같은 모양으로 적어 두면 부호를 놓치는 일이 줄어든다. 예를 들어 \int_0^{\pi/2}2\sin x\,dx 는 \left[-2\cos x\right]_0^{\pi/2} 에서 \pi/2 일 때 0, 0 일 때 -2 이므로 0-(-2)=2 가 된다.

두 개념을 나란히 놓으면 다음과 같다.

셋째, 정적분을 위끝점 x 의 함수 \int_a^x f(t)\,dt 로 보면 그 도함수는 f(x) 이다. 이 성질이 정적분과 부정적분을 이어 주는 기본정리의 핵심이다. 따라서 f(x) 가 음수인 구간에서는 정적분 값이 음수가 되고, 넓이는 그 절댓값으로 세어야 한다.

넷째, 정적분이 0이 되는 조건은 F(a)-F(0)=0 이라는 방정식이 된다. 예를 들어 \int_0^a(3x^2-4)\,dx=a^3-4a 이므로 값이 0이 되려면 a(a^2-4)=0 이다. 이 방정식의 해는 0 과 \pm 2 이며, 양수라는 조건으로 한 해를 고른다.

다섯째, 분모 도함수가 분자의 상수배인 꼴이면 로그가 나온다. 분모를 g(x) 라 하면 \frac{g'(x)}{g(x)} 의 부정적분은 \ln|g(x)| 이다. g(x)=x^3+3x^2+1 이면 g'(x)=3(x^2+2x) 이므로 분자 x^2+2x 는 \frac{g'(x)}{3} 이다.

대표 기출 풀이

① 리만합의 극한을 정적분으로 바꾸는 문항 이 문항은 \frac{1}{n}\sum\sqrt{1+\frac{3k}{n}} 꼴 합의 극한값을 묻는다.