그래프의 개형과 방정식·부등식 활용

핵심 정리

삼차함수 f(x) 의 극값은 f'(x)=0 의 근에서 생기며, 그 점의 좌우에서 f'(x) 의 부호가 바뀐다. 최고차 계수 양수면 극댓값이 왼쪽 극댓값을 주는 점이 극솟값을 주는 점보다 왼쪽에 놓이므로 개형은 증가, 감소, 증가의 순서를 가진다. 방정식 f(x)=k 의 서로 다른 실근 개수는 곡선 y=f(x) 와 직선 y=k 의 교점 개수와 같다. 따라서 방정식 문제는 그래프의 높낮이 비교로 바뀐다. 직선 y=k 가 곡선에 접하려면 접점 x=\alpha 에서 f(\alpha)=k 와 f'(\alpha)=0 이 동시에 성립해야 한다. 접점에서 f(x)=k 이고 f'(x)=0 두 식 중 하나만 맞추면 접점이 아닌 교점을 접점으로 잘못 잡는다.

극값 사이에 k 가 놓이면 실근은 셋이다. 극댓값을 M, 극솟값을 m 이라 하면 서로 다른 세 실근의 조건은 m<k<M 이다. 극댓값 > k > 극솟값이면 실근 셋 k 가 극댓값이나 극솟값과 정확히 같으면 접점이 생겨 교점은 두 개, 실근도 두 개다. 극값과 k 가 같으면 교점 둘 이때 중근은 한 개로 센다.

자세히

극값이 존재하는지부터 확인한다. f(x)=x^3+px^2+qx+r 이면 f'(x)=3x^2+2px+q 이고, 이 이차식의 판별식은 4(p^2-3q) 이다. 따라서 p^2>3q 일 때만 서로 다른 두 극값이 생기고, p^2\le 3q 이면 f 는 항상 증가하여 f(x)=k 의 실근은 하나뿐이다. 이 판별을 건너뛰면 극값이 없는 함수를 극값이 있는 것처럼 세는 실수가 생긴다.

극값의 대소를 계산하는 순서도 정리해 둔다. 도함수를 인수분해해 극값을 주는 x 좌표를 먼저 구하고, 그 값을 원래 함수에 넣어 극댓값과 극솟값을 얻는다. 도함수의 해는 극값을 주는 점의 위치를 알려 주고, 원래 함수의 값은 그 점의 높이를 알려 준다. 교점 문제는 이 두 정보를 같이 써야 풀린다. 다음 표는 최고차항 계수가 양수인 삼차함수에서 높이 k 의 위치에 따른 교점 개수를 정리한 것이다.

표에서 보듯 k 가 극값 바깥에 있으면 교점은 하나뿐이고, 극값 사이에 있으면 교점은 셋이다. 극값과 같은 높이에서는 접점이 하나 생기면서 교점이 둘로 줄어든다. 이 대응은 삼차함수 특유의 것이다. 이차함수는 교점이 최대 둘이므로 같은 방식으로 실근 셋을 만들 수 없다.

예를 들어 f(x)=x^3-3x 를 보자. 도함수는 3(x-1)(x+1) 이므로 x=-1 에서 극댓값 2, x=1 에서 극솟값 -2 를 가진다. k=2 이면 교점은 두 개이고, 실제로 x^3-3x-2=(x+1)^2(x-2) 이므로 실근은 x=-1 의 중근과 x=2 로 두 개다. k=0 이면 극값 사이에 있으므로 교점이 셋이고, x(x^2-3)=0 에서 실근은 x=0 과 x=\pm\sqrt{3} 이다. 이 두 경우를 직접 대입해 확인하면 표의 개수가 맞는지 바로 드러난다.

계산 순서는 다섯 단계다. 첫째, 도함수를 구하고 인수분해한다. 둘째, 극값을 주는 x 를 찾고 함숫값을 계산한다. 계수에 미지수가 있으면 이 단계에서 식으로 남겨 둔다. 셋째, 조건을 식으로 바꾼다. 교점 개수 조건은 극값의 대소로, 접선 조건은 두 식의 연립으로 옮긴다. 넷째, 미지수를 구하고 조건에 맞지 않는 해를 버린다. 양수라는 가정이나 정수 조건이 여기서 걸러진다. 다섯째, 구한 계수로 원래 식을 다시 세워 목적값을 계산한다. 마지막 단계를 빠뜨리면 미지수는 맞혀도 답이 틀린다.

부등식으로 넘어가면 두 함수의 위아래 관계를 차이 함수로 바꾼다. h(x)=f(x)-g(x) 를 세우고 h(x)>0 이 되는 구간을 찾는 방식이다. 방정식과 부등식이 같은 도구, 곧 증감표와 극값으로 풀린다는 점을 익혀 두면 된다.