함수의 증가·감소와 극대·극소

핵심 정리

증가와 감소는 도함수의 부호로 정해진다. 미분가능한 함수 f가 구간 I의 모든 점에서 f'(x)>0이면 f는 I에서 증가하고, f'(x)<0이면 감소한다. 평균값 정리에 따르면 구간 양 끝의 함숫값 차이는 그 사이 어떤 점의 도함수와 구간 길이의 곱과 같으므로, 도함수의 부호가 일정한 구간에서 함숫값의 대소도 한 방향으로 고정된다.

극값은 주변보다 함숫값이 크거나 작아지는 점에서 생긴다. x=a에서 f'(a)=0이고 a의 앞뒤에서 f'(x)의 부호가 바뀌면 f(a)는 극값이다. 미분 가능한 구간 내부에서 도함수의 부호가 바뀌면 극값이 된다. +에서 -로 바뀌면 극대, -에서 +로 바뀌면 극소다. 외울 때는 극대는 +에서 −, 극소는 −에서 +를 기억하면 된다.

f'(a)=0이라는 조건만으로는 극값이 보장되지 않는다. f(x)=x^3은 f'(0)=0이지만 x=0에서 극값이 없으므로 미분계수가 0이어도 극값은 아니다는 점을 잊지 않는다. 최고차항 계수가 양수인 삼차함수의 도함수가 서로 다른 두 실근 \alpha<\beta를 가지면 f는 \alpha에서 극대, \beta에서 극소다. 판정은 네 단계로 한다. 도함수를 구하고, f'(x)=0의 근을 찾고, 근의 앞뒤 부호를 표로 적은 뒤, 극값 자리의 함숫값을 계산한다. 이 순서를 지키면 부호 확인을 빠뜨리는 실수가 줄어든다.

자세히

도함수의 부호와 그래프 모양의 관계부터 본다. f'(a)는 점 (a,f(a))에서 접선의 기울기이다. 기울기가 양수이면 접선은 오른쪽 위로 향하고, 그 근처에서 그래프도 올라간다. 따라서 도함수의 부호가 구간 전체에서 양수이면 그래프는 그 구간에서 계속 올라가는 모양이 된다. 극대는 산봉우리처럼 왼쪽은 올라가고 오른쪽은 내려가는 점이므로 접선 기울기가 양수에서 음수로 바뀐다. 극소는 골짜기처럼 기울기가 음수에서 양수로 바뀌는 점이다. 부호 변화가 곧 그래프의 봉우리와 골짜기이고, 기울기가 0인 점이라고 해서 모두 봉우리나 골짜기가 되지는 않는다.

증가 조건에는 등호가 따른다. 구간에서 증가한다고 할 때 도함수가 0 이상이면 충분하고, 0인 점이 있더라도 그 점이 고립되어 있으면 그래프는 여전히 올라간다. 0인 점에서 접선이 잠깐 수평이 될 뿐이기 때문이다. 이 때문에 증가 조건은 도함수 0 이상으로 쓰는 것이 정확하다. 예를 들어 도함수가 3(x+2)^2이면 x=-2에서만 0이고 나머지 모든 점에서 양수여서 실수 전체에서 증가한다.

삼차함수에서 극값 위치는 도함수의 두 근의 대소로 정해진다. 최고차항 계수가 양수이고 도함수가 k(x-\alpha)(x-\beta) 꼴이면 k>0이고 \alpha<\beta에서 부호는 x<\alpha에서 +, \alpha<x<\beta에서 -, x>\beta에서 +가 된다. 그러므로 작은 근은 극대, 큰 근은 극소다. 삼차함수의 극값은 최대 두 개다. 최고차항 계수가 음수이면 부호가 반대이므로 작은 근이 극소가 된다. 이 대응을 외우기보다 부호표를 그려 확인하는 편이 안전하다. 예컨대 도함수가 3x(x-2)이면 x=0에서 +에서 -로, x=2에서 -에서 +로 바뀌어 x=0은 극대, x=2는 극소다.

최고차항 계수가 음수인 사차함수도 같은 방법으로 본다. f(x)=-x^4+8a^2x^2-1의 도함수는 -4x(x^2-4a^2)이고 근은 -2a, 0, 2a이다. 부호를 따지면 -2a와 2a에서 극대, 가운데 0에서 극소가 된다. 근이 세 개이면 극값도 세 개이며, 가운데 근이 극소가 되는 것이 삼차함수와 다른 점이다. 이 꼴은 극대인 두 점의 위치로 상수를 찾게 하는 문항으로 나왔다.

지수함수가 곱해진 함수도 같은 순서로 푼다. f(x)=(x^2-2x-7)e^x의 도함수는 (x^2-9)e^x로 정리된다. 지수함수 e^x는 항상 양수이므로 도함수의 부호는 다항식 부분이 정한다. 공통으로 양수인 인자를 먼저 빼내면 부호표가 짧아져 계산 실수가 준다.