미분계수와 도함수

핵심 정리

함수 y=f(x) 의 x=a 에서의 미분계수 는 f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} 로 정의하고, 극한값이 존재할 때만 값을 가진다. 분자는 함숫값의 변화량, 분모는 입력의 변화량이므로 이 식은 평균변화율의 극한, 곧 순간변화율이다. 기하학적으로 f'(a) 는 그래프 위 점 (a,f(a)) 에서 그은 접선의 기울기다. 주어진 극한이 이 꼴이면 그대로 미분계수를 구하는 문제다.

도함수 f'(x) 는 정의역의 각 x 에 미분계수를 대응시킨 함수다. 미분계수는 도함수에 x=a 를 대입한 값이다. 기본 공식은 다음과 같다.

• (c)'=0 (c 는 상수), (x^n)'=nx^{n-1} (n 은 자연수)
• \{kf(x)\}'=kf'(x), \{f(x)\pm g(x)\}'=f'(x)\pm g'(x)
• 곱의 미분법 \{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 에서는 두 항을 모두 더한다.

미분가능하면 연속이다. 역은 성립하지 않는다. 함수가 x=a 에서 미분가능하다는 것은 좌미분계수 \lim_{h\to0-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} 와 우미분계수 \lim_{h\to0+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} 가 존재하고 좌미분계수와 우미분계수가 같다 는 뜻이다. 구간이 나뉜 함수에서 경계점의 미분가능을 묻는 문항은 이 조건을 식으로 옮긴다.

분수 꼴 극한에서 분모가 0 으로 가면 분자도 0 으로 가야 극한값이 유한하다. 분모가 0 으로 가는 극한은 분자가 먼저 0 이어야 한다.

자세히

평균변화율에서 출발한다. 점 (a,f(a)) 와 점 (a+h,f(a+h)) 를 지나는 직선의 기울기는 \frac{f(a+h)-f(a)}{h} 이다. h 를 0 에 가깝게 보내면 두 점이 한 점으로 모이고, 이 직선은 점 (a,f(a)) 에서의 접선으로 다가간다. 이 극한이 존재하면 그 값이 미분계수다. 따라서 미분계수는 한 점 근처에서 함숫값이 얼마나 빠르게 변하는지를 나타내는 수이고, 그래프에서는 접선의 기울기로 읽힌다. 예를 들어 f(x)=x^2 이면 \frac{(3+h)^2-3^2}{h}=6+h 이므로 f'(3)=6 이다. 이 계산은 간단한 수로 직접 확인할 수 있다.

두 말의 차이는 아래 표로 정리한다.

구하는 순서는 보통 도함수를 먼저 구한 뒤 x=a 를 대입하는 것이다. 곱으로 된 함수는 곱의 미분법으로 펼친 뒤 대입한다. 극한 정의를 쓰는 문항에서는 h 대신 x-a 를 넣은 \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} 도 같은 값 f'(a) 를 준다.

연속과 미분가능은 다르다. 절댓값 함수 |x| 는 x=0 에서 연속이지만 좌미분계수는 -1, 우미분계수는 1 로 서로 달라 미분가능하지 않다. 이런 차이 때문에 경계점에서 함숫값과 극한이 맞아도 미분가능 조건을 따로 확인해야 한다.

운동 문제에서는 위치 x(t) 의 도함수가 속도 v 이고, 속도의 도함수가 가속도 a 다. 운동 방향은 속도의 부호로 정해지므로, 속도가 0 이 되는 시각 전후에서 부호를 확인해야 한다. 속도가 0 인 것만으로 방향이 바뀌지는 않는다.

접선의 방정식은 점 (a,f(a)) 를 지나고 기울기가 f'(a) 인 y-f(a)=f'(a)(x-a) 이다. 접선과 수직인 직선의 기울기는 접선 기울기의 음의 역수이므로, 수직인 직선의 기울기가 주어지면 접선 기울기를 거꾸로 구한다.

도함수로부터 원래 함수를 찾을 때는 f(x)=\int f'(x)\,dx 꼴에 적분상수 C 가 붙는다. 함숫값 같은 조건으로 적분상수를 조건으로 정한다 는 것이 핵심이다.