함수의 연속 - 조건 판별과 계수 구하기

핵심 정리

함수 f(x)가 x=a에서 연속이라는 것은 세 조건이 모두 성립한다는 뜻이다. 첫째, 함숫값 f(a)가 정의되어 있다. 둘째, 극한값 \lim_{x\to a}f(x)가 존재한다. 셋째, 두 값이 같다, 즉 \lim_{x\to a}f(x)=f(a)이다. 극한이 존재하려면 좌극한 \lim_{x\to a^-}f(x)와 우극한 \lim_{x\to a^+}f(x)가 서로 같아야 하므로, 실제 판별은 좌극한, 우극한, 함숫값 세 수를 비교하는 일로 정리된다.

연속함수는 정의역의 모든 점에서 연속인 함수다. 다항함수는 실수 전체에서 연속이고, 유리함수는 분모가 0이 아닌 모든 점에서 연속이다. 식이 구간마다 나뉘는 함수는 각 구간 안에서 식이 이어져 있으므로, 연속 여부는 경계점에서만 확인하면 된다.

연속이려면 좌극한·우극한·함숫값이 모두 같아야 한다. 한편 미분가능한 함수는 그 점에서 연속이지만 그 역은 성립하지 않는다. 이를 미분가능하면 반드시 연속이라 외워 둔다. 미분가능성은 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 하므로, 연속이 맞더라도 기울기가 어긋나면 미분가능하지 않다.

연속 조건은 함숫값을, 미분가능 조건은 도함수 값을 정한다.

두 식이 만나는 점 x=a에서의 조건을 식으로 쓰면 다음과 같다. \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)이고, \lim_{x\to a^-}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}이다.

자세히

구간별 함수에서 연속을 판별하는 과정은 세 단계로 나뉜다. 먼저 x=a의 왼쪽 식과 오른쪽 식을 나눠 적는다. 왼쪽 식이 다항식이면 좌극한은 그 식에 x=a를 대입한 값과 같다. 오른쪽 식도 같은 방법으로 우극한을 구하고, 함숫값은 x=a가 속한 쪽 식에서 가져온다. 세 값을 얻은 뒤 서로 같다고 놓으면 미지수에 대한 방정식이 나온다. 예를 들어 f(x)=3x-a\ (x<2), f(x)=x^2+a\ (x\ge 2)이면 좌극한은 6-a, 함숫값은 4+a이므로 6-a=4+a에서 a=1이 나온다. 연속 문항은 대부분 이 계산의 변형이다.

분수 꼴이 섞이면 계산 방식이 달라진다. 분모가 0으로 가는 점에서 극한이 유한하려면 분자도 0이어야 한다. 분자가 0이 아니면 극한은 발산하므로, 분자가 0이라는 등식이 먼저 나온다. 분자와 분모가 함께 0이 되면 \frac{0}{0} 꼴이므로, 인수분해나 유리화로 공통인수를 약분한 뒤에 극한을 구한다. 예를 들어 \frac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}는 분모를 유리화하면 x-1이 약분되어 \sqrt{x+3}+2만 남고, x\to 1에서 그 값은 4이다.

미분가능성은 연속이 확인된 뒤에 본다. 구간별 함수가 x=a에서 미분가능하려면 왼쪽 식의 도함수에 a를 넣은 값과 오른쪽 식의 도함수에 a를 넣은 값이 같아야 한다. 핵심은 좌·우 미분계수가 같아야 한다는 점이다. 두 식이 다항식이면 도함수도 다항식이어서 계산은 단순하다. 다만 기울기는 계수가 직접 영향을 주므로, 계수가 여러 개 얽힌 문항에서는 연속 식과 미분가능 식을 연립해야 한다. 이 점이 연속만 묻는 문항과 미분가능까지 묻는 문항의 차이다.

세 조건의 강도는 미분가능, 연속, 극한 존재 순으로 약해진다. 극한 존재는 좌우가 같은 값으로 모인다는 뜻이고, 연속은 그 값이 함숫값과도 같다는 뜻이며, 미분가능은 그 위에 기울기까지 같다는 뜻이다. 계산 순서도 이 위계를 따른다. 먼저 경계점을 찾고, 연속 식을 세우고, 미분가능 식을 세우고, 주어진 나머지 조건을 대입한 뒤, 얻은 계수가 문제의 범위 조건을 만족하는지 검산한다.

가장 간단한 예로 h(x)=|x|를 보자. x=0에서 함숫값은 0이고 좌극한과 우극한도 모두 0이므로 연속이다. 그러나 왼쪽 기울기는 -1, 오른쪽 기울기는 1로 서로 달라서 x=0에서 미분가능하지 않다. 이 한 예만으로도 연속과 미분가능이 서로 다른 조건임이 드러난다.

연속 여부를 묻는 대상이 원래 함수가 아니라 다른 함수를 곱한 함수일 때도 같은 원리가 쓰인다. p(x)f(x)가 x=0에서 연속이려면 좌극한 0과 우극한 -p(0)이 같아야 하므로 p(0)=0이 필요하다. 원래 f는 x=0에서 불연속이지만, p(x)=x를 곱하면 xf(x)는 x=0에서 연속이 된다.

계수를 구한 뒤에는 문제가 준 부등식 조건과 계산 과정에서 얻은 부등식 조건을 확인한다. a>3\sqrt5처럼 계산으로 범위를 얻은 경우에는 방정식에서 구한 값이 그 범위에 들어가는지 대입해 본다. 이 확인 없이 얻은 값을 바로 답으로 쓰면 틀린다.