수열의 합(Σ)의 계산과 일반항

핵심 정리

수열 \{a_n\}의 첫째 항부터 제 n 항까지의 합은 S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+\cdots+a_n 으로 쓴다. 기호 \sum 는 합을 나타내는 기호이고, 아래 k=1 은 더하기를 시작하는 번호, 위 n 은 마지막 번호를 정한다. k는 더할 항의 번호를 나타내는 문자이다. 번호를 나타내는 문자를 다른 문자로 바꾸어도 합의 값은 같다.

합과 차는 항별로 나누어 더할 수 있고, 상수는 합 밖으로 꺼낼 수 있으며, 상수만의 합은 항의 개수를 곱한다. 식으로 쓰면 \sum_{k=1}^{n}(a_k\pm b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k\pm\sum_{k=1}^{n}b_k, \sum_{k=1}^{n}ca_k=c\sum_{k=1}^{n}a_k, \sum_{k=1}^{n}c=cn 이다. 이 성질은 덧셈의 결합법칙과 교환법칙에서 바로 나온다.이 세 성질만 알아도 합 계산의 대부분이 풀린다.

첫째 항은 a_1=S_1 이고, n\ge 2 일 때는 a_n=S_n-S_{n-1} 이다. 부분합이 주어진 문제는 이 차로 일반항을 구하는 것이 기본이다.첫째 항은 따로 구하고 나머지 항은 차로 구한다.

자연수의 거듭제곱 합은 공식으로 바로 쓴다. \sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}, \sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} 이다. 이 두 공식은 자연수 합·제곱합 공식이라고 외운다.

자세히

합을 계산하는 과정은 세 단계로 나뉜다. 첫째, 합 기호 안의 식이 다항식이면 덧셈과 상수배의 성질을 이용해 여러 합으로 나눈다. 둘째, 각 합을 \sum k, \sum k^2, \sum 1 꼴로 바꾼다. 셋째, 공식에 n 을 대입해 정리한다. 간단한 수로 확인하면 \sum_{k=1}^{5}(k+2) 는 \sum_{k=1}^{5}k+2\cdot 5=15+10=25 이고, 직접 3+4+5+6+7=25 와 같다. 두 방법이 같은 값을 주므로 성질을 바르게 적용했다고 판단할 수 있다.

합의 범위를 끝 번호 기준으로 쪼개는 것도 자주 쓰인다. 예를 들어 \sum_{k=1}^{10}a_k=\sum_{k=1}^{7}a_k+\sum_{k=8}^{10}a_k 로 나누면, 이미 구한 부분합 S_7을 계산에 이용할 수 있다. 부분합 S_n 은 n 의 함수이므로 S_n-S_{n-1} 은 n 번째 항 하나만 남긴다. 예를 들어 S_n=n^2 이면 a_n=n^2-(n-1)^2=2n-1 이고, S_1=1 이므로 a_1=1 도 같은 식에 들어맞는다. 반대로 S_n=n^2+1 이면 n\ge 2 에서 a_n=2n-1 이지만 a_1=S_1=2 이므로 n=1 에서는 맞지 않는다. 이처럼 첫째항에는 다른 식을 써야 할 수도 있으므로 n=1 대입해 확인해야 한다.

세 기호의 관계를 표로 정리하면 다음과 같다.

등차수열의 합 공식 \dfrac{n(a_1+a_n)}{2} 과 비교하면 차이가 분명하다. 등차수열의 합은 첫 항과 끝 항만으로 정해지지만, 시그마 계산은 일반항을 n 의 식으로 알아야 한다. 그래서 문제에서 a_n 을 직접 구하라고 하면 먼저 a_n 의 식을 세우고, 합 기호 안에 넣어 계산하는 순서를 따른다.