등비수열의 뜻과 일반항·합

핵심 정리

등비수열은 첫째항 뒤의 각 항이 바로 앞 항에 같은 수를 곱해서 얻어지는 수열이다. 이 곱하는 수를 공비라 하고 r로 쓴다. 공비 r은 r=\dfrac{a_{n+1}}{a_n} 으로 정해지며 0이 아니다. 공비는 항의 비로 정해지므로 모든 항이 0이 아니어야 한다.

핵심 공식은 네 가지다.

• 일반항: a_n=a_1r^{n-1}
• 두 항 사이: a_m=a_nr^{m-n}
• 등비중항: a_n^2=a_{n-1}a_{n+1} (n은 2 이상의 자연수)
• 합: r\neq 1 이면 S_n=\dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}, r=1 이면 S_n=na_1

일반항의 지수가 n-1 인 이유는 첫째항에서 출발해 공비를 곱하는 과정을 n-1 번 거치기 때문이다. 항 번호와 거듭제곱의 지수는 한 칸 차이가 난다. 따라서 다섯째 항은 a_1r^4 이다.

합 공식을 쓰기 전에 공비가 1인지부터 확인한다. 공비가 1이면 합은 첫째항에 항의 수를 곱한 값이다. 공비가 1이 아니면 S_n에서 r을 곱한 식을 빼어 양 끝을 제외한 항들을 소거한다. 그러면 (1-r)S_n=a_1(1-r^n) 이 남고, 1-r 로 나누어 합 공식을 얻는다.

등비중항 a_n^2=a_{n-1}a_{n+1} 은 이웃한 세 항의 관계를 한 번에 보여 준다. 세 항 가운데 항의 제곱은 양옆 항의 곱과 같다. 이 식은 가운데 항의 제곱이 양옆 항을 곱한 값과 같다는 뜻으로 기억한다.

자세히

첫째항 a_1 에서 출발해 보자. 둘째항은 a_2=a_1r 이고, 셋째항은 둘째항에 다시 r 을 곱해 a_3=a_1r^2 이 된다. 한 항씩 넘어갈 때마다 r 의 지수가 1씩 늘어나므로 n 번째 항의 지수는 n-1 이다. 간단한 수로 확인하면 첫째항이 2, 공비가 3인 수열은 2, 6, 18, 54 로 이어지고, a_3=2\cdot 3^2=18 이 실제 셋째 항과 같다.

등차수열과 비교하면 차가 일정한 수열과 비가 일정한 수열의 공식을 나란히 이해할 수 있다. 등차수열은 이웃한 항의 차가 일정하고 등비수열은 이웃한 항의 비가 일정하다. 덧셈이 곱셈으로 바뀌었으므로 a_1+(n-1)d 가 a_1r^{n-1} 로, a_n+(m-n)d 가 a_nr^{m-n} 로 대응된다. 합 공식도 같은 방식으로 바뀐다. 아래 표는 두 수열의 공식을 나란히 정리한 것이다.

합 공식의 유도는 다음과 같다. S_n=a_1+a_1r+a_1r^2+\cdots+a_1r^{n-1} 의 양변에 r 을 곱하면 rS_n=a_1r+\cdots+a_1r^n 이다. 두 식을 빼면 가운데 항이 모두 사라지고 (1-r)S_n=a_1-a_1r^n 이 남는다. 공비가 1이면 1-r=0 이므로 나눌 수 없고, 이때는 모든 항이 a_1 이므로 합이 na_1 이다.

공비가 음수이면 항의 부호가 번갈아 바뀐다. 첫째항이 1, 공비가 -2 인 수열은 1, -2, 4, -8 로 이어진다. 첫째항이 양수이고 공비가 음수인 등비수열에서 음수인 항은 짝수 번째뿐이라는 성질이 기출에서 쓰이기도 했다. 항의 절댓값들이 등비수열을 이룬다는 조건만으로는 원래 각 항의 부호를 정할 수 없다. |a_n|=2^n 이라는 조건만으로는 각 항의 부호가 정해지지 않으므로 부호를 \varepsilon_n=\pm 1 로 따로 두고 나머지 조건으로 좁혀야 한다.