등차수열의 일반항과 합

핵심 정리

등차수열은 첫째항에 같은 수를 차례로 더해 만든 수열이다. 이때 더하는 수 d=a_{n+1}-a_n 은 모든 자연수 n 에서 같은 값이며, 이를 공차라 한다. 공차는 양수·음수·0 모두 가능하고, 공차가 0이면 모든 항이 같은 상수수열이 된다.

일반항은 a_n=a_1+(n-1)d 이다. 첫째항과 공차만 알면 어떤 항이든 적을 수 있다. 두 항의 차 a_m-a_n 은 두 항의 번호 차에 공차를 곱한 값이므로, 항 번호 차가 0이 아니면 두 항의 차를 항 번호 차로 나누어 공차를 구할 수 있다.

세 수 p,\,q,\,r 이 이 순서로 등차수열을 이루면 2q=p+r 이다. 가운데 항은 양옆 항의 평균이며, 이 관계를 등차중항이라 부른다. 세 항 중 두 항만 알아도 나머지 한 항을 이 식으로 구한다.

첫째항부터 제 n 항까지의 합은 S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2} 이다. 합 공식은 항 개수 × 양 끝 항 평균으로 읽으면 기억하기 쉽다. 공차가 주어지고 끝 항이 필요 없을 때는 S_n=\dfrac{n\{2a_1+(n-1)d\}}{2} 를 쓴다.

자세히

첫째항을 a, 공차를 d 라 하면 a_2=a+d, a_3=a_2+d=a+2d 처럼 항마다 d 가 하나씩 쌓인다. 따라서 n 번째 항에는 d 가 n-1 번 더해져 있고, 이것이 일반항이 된다. 항 번호 n 을 가로축, a_n 을 세로축에 찍으면 모든 점이 한 직선 위에 놓인다. 이 직선의 기울기가 공차 d 이고, 절편은 a_1-d 이다. 그래서 등차수열의 일반항은 항 번호에 대한 일차식이며, 이는 등차수열이 '일정하게 자란다'는 말을 식으로 옮긴 것이다.

합 공식의 유도는 간단하다. S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n 을 뒤에서부터 다시 쓰고 두 식을 더한다. 각 쌍 a_k+a_{n+1-k} 의 값은 모두 a_1+a_n 으로 같으므로 2S_n=n(a_1+a_n) 이 된다. 예를 들어 첫째항이 2이고 공차가 3인 수열 2, 5, 8, 11의 첫 네 항의 합은 \dfrac{4(2+11)}{2}=26 이며, 직접 더한 값 26과 같다.

등차수열과 등비수열은 항을 잇는 방식이 다르다. 아래 표는 두 수열의 핵심 식을 나란히 놓은 것이다.

표에서 보듯 등차수열은 덧셈, 등비수열은 곱셈으로 항이 이어진다. 두 수열이 섞여 나오는 문제에서는 어느 쪽 조건인지 먼저 확인해야 한다. 등차중항은 합의 관계, 등비중항은 곱의 관계로 본다는 점이 핵심이다.

계산 순서는 대체로 같다. 첫째항 a 와 공차 d 를 미지수로 두고, 주어진 조건을 식으로 옮겨 방정식을 세운다. 조건이 둘이면 연립방정식이 된다. 조건에 여러 항이 나오면 먼저 a_1 과 d 로 모두 풀어 쓴 뒤 정리하는 편이 빠르다. 구하는 항이 a_{10} 이라면 첫째항에서 공차가 아홉 번 더해진 것이므로 a_1+9d 로 쓴다.

공차의 부호는 수열의 증가·감소를 정한다. 공차의 부호가 증감을 정함. d>0 이면 증가, d<0 이면 감소, d=0 이면 상수수열이다. 절댓값이 붙은 조건에서는 항이 0을 지나 부호가 바뀌는 지점이 핵심이 되므로, 항의 부호를 기준으로 경우를 나누어 본다. 이 나눔을 빠뜨리면 조건을 만족하지 않는 해가 섞여 들어온다.

대표 기출 풀이

① 두 항의 조건으로 공차를 구해 한 항을 찾는 문제 a_2=6, a_4+a_6=36 일 때 a_{10} 의 값을 묻는다. 두 조건을 첫째항 a_1 과 공차 d 의 식으로 바꾸면 된다. a_2=a_1+d=6 이고 a_4+a_6=2a_1+8d=36 이다. 두 식을 a_1+4d=18 과 a_1+d=6 꼴로 정리하면 3d=12 이므로 d=4 이고 a_1=2 이다.