사인법칙과 코사인법칙

핵심 정리

삼각형 ABC 의 변을 a,b,c, 그 대각을 A,B,C, 외접원의 반지름을 R 이라 하자. 사인법칙은 \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R 이다. 세 비가 모두 외접원 지름과 같다. 코사인법칙은 a^2=b^2+c^2-2bc\cos A 이다. 두 변과 끼인각이 주어지면 대변은 이 식으로 구한다. 세 변을 알면 \cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} 로 각을 정한다. 각 A 가 직각이면 \cos A=0 이라 피타고라스 정리와 같아지므로, 코사인법칙은 피타고라스 정리를 모든 삼각형으로 넓힌 식이다.두 변과 끼인각을 알면 대변을 코사인법칙으로 구한다. 삼각형의 넓이는 두 변과 끼인각의 사인으로 구한다. 식은 S=\dfrac12 bc\sin A 이다. \cos A<0 이면 A 는 둔각이고 \sin A 는 여전히 양수다.

자세히

사인법칙은 외접원과 원주각에서 나온다. 외접원 위에서 한 현의 길이는 그 현을 보는 원주각의 사인에 지름을 곱한 값이다. 변 BC 를 보는 각을 A 라 하면 a=2R\sin A 이고, 나머지 두 변도 같은 방식으로 쓰므로 세 비가 2R 로 같아진다. 원주각 \theta 와 \pi-\theta 는 사인값이 같으므로 대변을 보는 각이 둔각이어도 식은 그대로 성립한다. 코사인법칙은 꼭짓점 C 에서 변 AB 에 수선을 내려 직각삼각형 둘로 나눈 뒤 피타고라스 정리를 두 번 써서 얻는다. 이때 두 변의 곱에 \cos A 가 붙은 항이 남는다. 같은 대변을 두 삼각형에서 각각 구해 식을 맞추면 미지수 하나를 소거할 수 있다. 어떤 법칙을 쓸지는 문제에서 주어진 변과 각을 보고 정한다.

계산은 세 단계로 진행한다. 먼저 법칙을 고르고, 다음으로 구하려는 값과 관계있는 각이나 변을 찾고, 마지막으로 \sin^2A+\cos^2A=1 로 빠진 값을 채운다. 간단한 예로 세 변이 3,4,5 인 삼각형에서 \cos C=\dfrac{3^2+4^2-5^2}{2\cdot3\cdot4}=0 이므로 C=\dfrac{\pi}{2} 임을 바로 안다. 이 계산은 직접 확인할 수 있다. 사인값이 같은 각은 \theta 와 \pi-\theta 두 개다. 사인값만으로는 예각과 둔각을 가를 수 없다. 따라서 각 A가 예각인지 둔각인지 판단하려면 \sin A뿐 아니라 코사인의 부호도 함께 확인한다. 두 변과 끼인각이 주어진 경우에는 코사인이 먼저 정해지므로 모호함이 없다. 넓이 공식 S=\dfrac12 ah 에서 높이 h 를 b\sin C 로 바꾸면 \dfrac12 ab\sin C 가 되어 사인법칙과 이어진다.