삼각함수의 정의와 기본 관계

핵심 정리

원점 O 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 r 인 원 위의 점 P(x,y) 에 대하여 동경 OP 가 x축의 양의 방향과 이루는 각을 \theta 라 하면 다음이 성립한다.

\sin\theta=\dfrac{y}{r},\quad \cos\theta=\dfrac{x}{r},\quad \tan\theta=\dfrac{y}{x}\ (x\neq 0)

점 P 가 같은 각을 이루는 동경 위에서 달라져도 r=\sqrt{x^2+y^2}>0 이므로 세 값은 점의 위치가 아니라 각 \theta 로만 정해진다. 점 P 가 원 위에 있으므로 x^2+y^2=r^2 이고, 양변을 r^2 으로 나누면 \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 이 된다. \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} 는 정의에서 \dfrac{y}{r}\div\dfrac{x}{r} 를 약분한 것이다. 세 관계식이 삼각함수 계산의 바탕이다.

세 관계식은 한 값을 알면 나머지를 구하는 데 쓰인다. 제곱근의 부호는 사분면이 정하므로 조건을 보고 부호를 먼저 정하는 것이 순서다.제곱근의 부호는 사분면이 정한다.사분면으로 부호 정하기

자세히

단위원에서 출발하면 뜻이 가장 분명하다. 반지름이 1 인 원, 즉 단위원 위의 점은 P(\cos\theta,\sin\theta) 로 쓸 수 있으므로 점의 x좌표가 \cos\theta, y좌표가 \sin\theta 가 된다. 반지름 r 인 원에서도 같은 각 \theta 이면 \dfrac{x}{r} 과 \dfrac{y}{r} 은 단위원의 값과 같다. 두 원이 닮음이기 때문이다. 그래서 정의는 반지름과 무관하고, 계산할 때는 r=1 로 두는 것이 편하다.

부호는 동경이 놓인 사분면으로 정해진다. 표는 다음과 같다.

제1사분면에서는 세 값이 모두 양이다. 제2사분면에서는 x가 음이므로 \cos\theta 와 \tan\theta 가 음이다. 제3사분면에서는 x,y 가 모두 음이라 \sin\theta 와 \cos\theta 가 음이고 \tan\theta 는 양이다. 제4사분면에서는 y 만 음이므로 \sin\theta 와 \tan\theta 가 음이다. 외울 때는 제1사분면은 모두, 제2사분면은 사인, 제3사분면은 탄젠트, 제4사분면은 코사인이 양수라고 떠올리면 된다.

\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} 는 \cos\theta\neq 0 일 때만 성립한다. 따라서 \theta=\dfrac{\pi}{2} 같은 각에서는 탄젠트가 정의되지 않는다. 1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta} 는 \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 을 \cos^2\theta 로 나누어 얻는다. 이 식은 \tan\theta 값만 알 때 \cos^2\theta 를 바로 구하게 해 준다. 예를 들어 \tan\theta=5 이면 \dfrac{1}{\cos^2\theta}=1+25=26 이다. 한편 \sin\theta=\dfrac{3}{5} 이고 \theta 가 제2사분면의 각이면 \cos^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25} 이므로 \cos\theta=-\dfrac{4}{5} 이고 \tan\theta=\dfrac{3/5}{-4/5}=-\dfrac{3}{4} 이다. 검산은 \dfrac{9}{25}+\dfrac{16}{25}=1 로 한다.

각의 부호나 \pi 만큼의 이동에 따라 점이 대칭으로 옮겨진다. 각 -\theta 는 x축에 대하여 대칭이므로 \sin(-\theta)=-\sin\theta, \cos(-\theta)=\cos\theta, \tan(-\theta)=-\tan\theta 이다. 각 \pi-\theta 는 y축에 대하여 대칭이므로 \sin(\pi-\theta)=\sin\theta, \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta, \tan(\pi-\theta)=-\tan\theta 이다. 각 \pi+\theta 는 원점에 대하여 대칭이므로 \sin(\pi+\theta)=-\sin\theta, \cos(\pi+\theta)=-\cos\theta, \tan(\pi+\theta)=\tan\theta 이다. 이 공식들은 식을 간단히 할 때 항상 쓰이므로 부호 변화를 점의 이동으로 떠올리는 습관이 필요하다. 음의 각은 x축 대칭이라는 점을 기억하면 \sin 의 부호만 바뀌는 이유가 보인다.음의 각은 x축 대칭

세 함수의 차이도 구분해야 한다. \sin\theta 와 \cos\theta 의 값은 항상 -1 이상 1 이하이고, \tan\theta 는 실수 전체의 값을 가진다. 주기는 \sin 과 \cos 이 2\pi, \tan 이 \pi 이다. \tan\dfrac{\pi x}{a} 같은 식은 안의 계수가 \dfrac{\pi}{a} 이므로 주기가 \dfrac{\pi}{\pi/a}=a 가 된다.주기가 a 이므로 그래프가 반복된다.

계산 순서는 세 단계로 정리된다. 먼저 조건을 식 하나로 모은다. 가능하면 \tan\theta 하나로 바꾸는 것이 편하다. 그다음 사분면으로 각 값의 부호를 정한다. 마지막으로 원래 조건에 대입해 검산한다. 두 번째 단계를 빼면 제곱근의 부호가 틀리므로 이 단계를 건너뛰지 않는다.