지수·로그 방정식과 부등식

핵심 정리

지수함수 y=a^x(a>0, a\ne 1)는 a>1이면 증가하고 0<a<1이면 감소하는 일대일대응이다. 로그함수 y=\log_a x는 이 지수함수의 역함수이므로 a^p=q \iff p=\log_a q가 성립한다. 지수·로그 방정식과 부등식에서는 이 일대일성을 이용한다. 밑을 같게 맞추거나 로그의 진수를 비교해 미지수를 구한다.

밑이 같은 지수 방정식은 a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x), 즉 지수끼리 같다고 놓는다로 푼다. 밑이 1보다 큰 지수 부등식은 a^{f(x)}<a^{g(x)} \iff f(x)<g(x)이다. 밑이 1보다 작으면 부등호 방향이 뒤집힌다.

로그 방정식 \log_a f(x)=\log_a g(x)는 f(x)=g(x)로 바꾸되 진수 조건 f(x)>0, g(x)>0을 반드시 함께 본다.진수 조건을 확인하지 않으면 답이 틀린다.

로그 부등식은 a>1일 때 \log_a f(x)<\log_a g(x) \iff 0<f(x)<g(x)이고, 0<a<1일 때는 f(x)>g(x)>0이다. 이때 밑 1 기준으로 방향을 정한다. 밑이 다른 로그는 \log_{a^m} b^n=\dfrac{n}{m}\log_a b로 밑을 맞춘다. 예를 들어 \log_4 y=\dfrac12\log_2 y이므로 밑을 2로 통일한다하면 비교가 가능해진다.

자세히

지수 방정식에서 밑을 맞추는 과정을 보자. 3^{x-8}=\left(\dfrac{1}{27}\right)^x에서 \dfrac{1}{27}=3^{-3}이므로 우변은 3^{-3x}가 된다. 양변의 밑이 모두 3이 되었으므로 지수만 비교하여 x-8=-3x를 얻고, 이를 풀면 x=2이다. 핵심은 식에 등장하는 수를 같은 소수의 거듭제곱으로 나타내는 것이다. 8과 4는 2의 거듭제곱으로, 9와 27은 3의 거듭제곱으로 바꾸면 대부분 밑이 맞춰진다. 이 기본 절차는 이 절의 계산 문제에서 거의 그대로 반복된다.

지수 계산 자체도 순서가 중요하다. 8^{\frac23}은 세제곱근을 먼저 구한 뒤 제곱하는 것으로 읽는다. 8^{\frac13}=2이므로 8^{\frac23}=2^2=4이고, 여기에 3^0=1을 곱해도 값은 4가 된다. 지수법칙을 적용하는 과정을 단계별로 적으면 계산 순서와 부호를 확인하기 쉽다.

지수 부등식은 방향 규칙이 핵심이다. 밑이 1보다 작을 때 지수함수가 감소하기 때문에 지수 비교의 부호가 반대가 된다. 예를 들어 \left(\dfrac12\right)^{x}\ge 4는 \dfrac12=2^{-1}, 4=2^2로 바꾸어 2^{-x}\ge 2^2로 만들면 된다. 밑이 2로 1보다 크므로 -x\ge2, 즉 x\le-2를 얻는다. 이처럼 밑을 1보다 크게 고친다면 방향 규칙을 그대로 쓸 수 있다. 실제 기출도 이 순서를 따른다.

로그 방정식에서는 계산으로 얻은 해가 진수 조건을 만족하는지도 확인해야 한다. 로그함수의 정의역이 양의 실수이므로 풀이 중 얻은 값이 진수를 0 이하로 만들면 그 값은 해가 아니다.

로그 부등식은 밑의 크기에 따라 두 가지로 나뉜다. 이를 표로 정리하면 다음과 같다.

표에서 보듯 지수 부등식은 방향만 바뀌지만, 로그 부등식에서는 부등호 방향과 진수의 범위를 함께 확인해야 한다. 따라서 로그 부등식을 풀 때는 진수 조건을 식으로 적는다. 계산 순서는 정의역을 먼저 정하고, 밑을 맞춘 뒤, 방정식이나 부등식을 풀고, 마지막으로 구한 해와 정의역의 공통 범위만 남기는 것이다. 이 순서를 지키면 진수 조건을 빠뜨리는 실수가 크게 줄어든다.