로그의 성질: 합·차·거듭제곱·밑 변환

핵심 정리

양수 a (a\ne 1) 에 대하여 a^x=M 을 만족하는 실수 x 를 \log_a M 으로 쓰고, 이를 밑이 a 인 로그라고 한다. 지수함수 y=a^x 는 a>1 이면 증가하고 0<a<1 이면 감소한다. 어느 경우든 일대일대응이므로 \log_a M 의 값은 하나로 정해진다. 로그의 성질은 모두 지수법칙을 뒤집은 것이다. 따라서 지수법칙을 알면 로그의 성질도 유도할 수 있다.

a>0, a\ne 1, M>0, N>0 일 때 다음이 성립한다.

\log_a MN=\log_a M+\log_a N, \quad\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N, \quad\log_a M^k=k\log_a M

두 로그의 합은 진수를 곱한 값의 로그와 같다. 식을 바꾸기 전에 진수가 양수인지 먼저 확인한다진수는 반드시 양수. 밑이 다르면 두 로그를 바로 합칠 수 없다. 같은 밑으로 맞춘 뒤 계산한다밑이 다르면 합칠 수 없다.

밑을 바꾸면 분자와 분모에 같은 새 밑의 로그가 붙는다. 로그의 밑과 진수를 서로 바꾸면 역수가 된다.

진수의 지수는 로그 앞의 계수가 된다. 두 조건을 같은 밑의 로그로 비교하면 미지수 사이의 관계를 구할 수 있다.

자세히

로그는 지수에서 나온다. 3^4=81 이므로 \log_3 81=4 이고, 2^3=8 이므로 \log_2 8=3 이다. 즉 로그는 밑을 몇 번 곱해야 진수가 되는지 묻는 연산이며, 그 답이 지수다. 지수법칙 a^m a^n=a^{m+n} 을 로그로 옮기면 곱의 성질이 나온다.

곱셈과 나눗셈의 성질은 다음과 같이 유도할 수 있다. M=a^m, N=a^n 이라 두면 MN=a^{m+n} 이므로 \log_a MN=m+n 이다. 한편 \log_a M=m, \log_a N=n 이므로 \log_a MN=\log_a M+\log_a N 이 된다. 나눗셈의 성질도 \dfrac{M}{N}=a^{m-n} 에서 같은 방식으로 유도된다. 수로 확인하면 \log_2 4+\log_2 8=2+3=5 이고 4\times 8=32=2^5 이므로 두 값이 같다. 또 \log_{10}1000-\log_{10}10=3-1=2=\log_{10}100 이다.

거듭제곱의 성질은 (a^m)^n=a^{mn} 에서 나온다. M=a^m 이면 M^k=a^{mk} 이므로 \log_a M^k=mk=k\log_a M 이다. 예를 들어 \log_2 8^2=\log_2 64=6 이고 2\log_2 8=2\times 3=6 이므로 두 값은 같다. 제곱근은 지수가 \dfrac12 인 거듭제곱이므로 \log_2\sqrt8=\dfrac12\log_2 8=\dfrac32 이다. 따라서 진수의 지수는 로그 앞의 계수가 된다는 점을 기억하면 된다.

밑 변환은 a^{\log_a b}=b 에서 출발한다. 양변에 밑이 c 인 로그를 취하면 \log_a b\cdot\log_c a=\log_c b 가 되어 \log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a} 를 얻는다. 예를 들어 \log_4 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}=\dfrac32 이다. 실제로 4^{\frac32}=8 이므로 식이 맞다. 이 식에서 c=b 로 두면 \log_a b\cdot\log_b a=1 이므로 두 로그는 서로 역수다. \log_4 8=\dfrac32 와 \log_8 4=\dfrac23 의 곱이 1인 것이 그 예다. 밑의 조건도 중요하다. 밑 a 는 양수이면서 1이 아니어야 한다. 밑이 1이면 \log_1 M 은 정의되지 않는다. 밑 변환에 쓰는 c 도 같은 조건을 따른다.

네 가지 성질을 지수법칙과 나란히 놓으면 서로 어떻게 대응하는지 분명해진다.

계산 순서를 지킨다. 먼저 모든 진수가 양수인지 확인하고, 밑이 다르면 같은 밑으로 맞춘다. 진수의 거듭제곱은 로그 앞의 계수로 바꾼다. 그런 다음 합과 차를 한 로그로 묶고 마지막에 값을 구한다. 예를 들어 \log_2 6-\log_2 3+\log_2 4 는 \log_2\dfrac{6}{3}+\log_2 4=\log_2 2+\log_2 4=\log_2 8=3 이다. \log_a 1=0 과 \log_a a=1 은 바로 값이 되는 항이다로그 1은 0, 밑은 1.