거듭제곱근과 지수법칙

핵심 정리

실수 a와 2 이상의 자연수 n에 대하여 x^n=a를 만족하는 실수 x를 a의 n제곱근이라 한다. 실수인 거듭제곱근의 개수는 n이 홀수인지 짝수인지에 따라 달라진다. n이 홀수이면 a의 값에 관계없이 \sqrt[n]{a} 하나뿐이다. n이 짝수이면 a>0일 때 \pm\sqrt[n]{a} 두 개이고, a=0일 때는 0 하나이다. a<0일 때는 실수인 n제곱근이 없다. 실수를 짝수 번 곱한 값은 음수가 될 수 없기 때문이다.

• 거듭제곱근의 성질: \sqrt[n]{a^n}=a (n이 홀수), \sqrt[n]{a^n}=|a| (n이 짝수). \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}이다.
• 지수의 확장: a^0=1 (a\neq0), a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}, a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} (a>0).
• 지수법칙 (a>0, b>0, r, s는 실수): a^r a^s=a^{r+s}, a^r\div a^s=a^{r-s}, (a^r)^s=a^{rs}, (ab)^r=a^r b^r.

위의 \sqrt[n]{a^n}에서 n이 짝수이면 결과는 a의 절댓값이다. 지수법칙은 자연수 지수에서 시작해 정수, 유리수, 실수 지수로 범위를 넓혀도 이어진다. 자연수 지수에서는 같은 수를 곱한 횟수를 세어 법칙을 확인할 수 있다. 유리수 지수는 a^{\frac1n}을 (a^{\frac1n})^n=a가 되도록 정해 기존 법칙과 연결한다. 계산할 때의 출발점은 밑이 같으면 지수끼리 계산한다.

자세히

지수가 자연수일 때부터 차례로 살펴보면 각 법칙이 나오는 이유를 이해할 수 있다. a^n은 a를 n번 곱한 값이다. 따라서 a^m\cdot a^n=a^{m+n}은 두 식에서 a를 곱한 횟수를 더한 결과이다. 지수가 0인 a^0에서도 같은 법칙이 성립하려면 a^m\cdot a^0=a^m이어야 한다. 그래서 a^0=1로 정한다. 음의 지수도 마찬가지이다. a^m\cdot a^{-m}=a^0=1이 되어야 하므로 a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}으로 정한다. 즉, 음의 지수는 역수다.

유리수 지수는 a^{\frac1n}이 (a^{\frac1n})^n=a를 만족하도록 정한다. 이 식을 만족하는 양수가 \sqrt[n]{a}이므로 a^{\frac1n}=\sqrt[n]{a}이다. 이를 이용해 a^{\frac{m}{n}}=(a^{\frac1n})^m=\sqrt[n]{a^m}으로 범위를 넓히면 지수법칙을 계속 사용할 수 있다. 고등학교 교과에서는 밑을 양수로 제한해 이 정의를 사용한다.

계산은 보통 세 단계로 진행한다. 먼저 근호를 분수 지수로 바꾼다. 다음으로 밑을 같은 소수나 같은 수의 거듭제곱으로 맞춘다. 마지막으로 지수법칙을 적용한다. 예를 들어 8^{\frac23}=(2^3)^{\frac23}=2^2=4이다. 8=2^3으로 나타내면 거듭제곱의 지수를 곱해 계산할 수 있다. 거듭제곱근, 분수 지수, 음의 지수는 다음과 같이 구분한다.

거듭제곱근을 구하는 것은 거듭제곱을 하는 것과 반대 과정이다. \sqrt[n]{a}가 실수로 존재하는 범위에서는 (\sqrt[n]{a})^n=a가 항상 성립한다. 반면 \sqrt[n]{a^n}=a는 n이 홀수일 때 성립한다. n이 짝수이면 결과는 a의 절댓값이다. 두 식은 계산 순서가 다르다. 앞의 식은 거듭제곱근을 먼저 구한 뒤 거듭제곱하고, 뒤의 식은 거듭제곱한 뒤 거듭제곱근을 구한다. 근호와 지수가 함께 있는 식에서는 이 순서를 먼저 확인한다.

지수 부등식을 풀 때는 밑의 크기도 살핀다. 지수함수 y=a^x는 a>1이면 증가하고 0<a<1이면 감소한다. 따라서 양변의 밑을 같게 만들었을 때 밑이 1보다 크면 지수 사이에도 같은 방향의 부등호가 성립한다. 밑이 1보다 작으면 지수 사이의 부등호 방향을 반대로 바꾼다. 밑을 3으로 맞춘 부등식에서 부등호 방향이 유지되는 이유도 여기에 있다.