수학·통계 개념과 읽는 법

핵심 정리

수학·통계 지문에서는 현상을 숫자로 나타내고 분석하는 도구를 배운다. 문항에서는 그 도구의 정의를 정확히 이해했는지, 〈보기〉나 새로운 상황에도 적용할 수 있는지 묻는다. 열팽창의 크기를 재는 변화율, 이상치가 섞인 데이터의 대푯값, 직선이 점들을 얼마나 잘 나타내는지 보는 최소 제곱법, 두 변수의 비례 관계를 보는 로그 그래프가 이 묶음의 중심 도구다. 변화율과 대푯값은 여러 문항의 바탕이 되므로 두 낱말을 한 문장으로 설명할 수 있어야 한다.

선형 열팽창 계수는 길이 변화율을 온도 변화량으로 나눈 값이다. 변화량은 나중 값에서 처음 값을 뺀 것이다. 이상치가 섞인 데이터에서는 평균보다 중앙값이 이상치에 덜 흔들린다. 두 변수의 증가율이 같으면 L-그래프의 직선 기울기는 1이다. 곡률은 곡률 반지름의 역수이므로, 곡률이 커지면 반지름은 작아진다. 온도가 더 높아지면 휨이 커져 곡률도 커진다.

자세히

과학·기술 지문은 수학 개념을 정의한 뒤 계산 과정을 설명하고 사례에 적용하는 경우가 많다. 기존 방법과 비교해 차이를 보여 주기도 한다. 문항에서도 정의를 확인하거나, 계산 과정을 따라가거나, 〈보기〉의 사례에 원리를 적용해야 한다. 나눗셈으로 정의된 개념이라면 어떤 값을 무엇으로 나누는지까지 적어 두는 것이 좋다.

열팽창 계산은 세 단계다. 먼저 변화량 \Delta L = L - L_0을 구하고, 이를 처음 길이 L_0로 나누어 길이 변화율 \frac{\Delta L}{L_0}을 얻는다. 여기에 온도 변화량 \Delta T로 나누면 선형 열팽창 계수 \alpha = \frac{\Delta L}{L_0\,\Delta T}가 된다. 계수는 길이가 얼마나 늘었는지가 아니라 온도 1단위당 늘어난 비율을 뜻한다. 그러므로 길이 변화율을 그대로 계수라고 하면 단위 온도 변화의 의미가 빠진다. 대부분의 물질에서 계수가 양수라는 것은 온도가 오르면 길이가 늘어난다는 뜻이며, 물질마다 그 값이 다르다는 것은 같은 온도 변화에도 늘어나는 정도가 다르다는 뜻이다.

두 층 띠는 이 차이를 이용한 장치다. 서로 다른 물질을 겹쳐 붙인 띠는 두 층의 계수가 달라서, 가열하면 한쪽이 더 많이 늘어나 띠가 휜다. 휨의 정도는 곡률로 나타낸다. 곡률은 곡률 반지름의 역수 \kappa = \frac{1}{R}이므로 휨이 클수록 곡률이 크고 곡률 반지름은 작다. 온도가 높을수록 휨이 커지고, 띠가 가진 힘은 최대 이동 거리에 이르러 휨이 끝날 때 사라진다. 띠의 두께는 휨이 완료되는 시간과 관계가 있다. 두께가 얇을수록 반응 완료 시간이 짧다.

대푯값은 결측치를 채울 때도 쓰인다. 결측치를 평균, 중앙값, 최빈값 가운데 하나로 대체하는 경우가 많다. 평균은 모든 값의 합을 개수로 나눈 값이라 극단적인 값에 크게 끌린다. 중앙값은 크기순으로 나열했을 때 가운데 위치한 값이므로 극단값의 영향을 덜 받는다. 최빈값은 가장 많이 나온 값이라 수치가 아닌 자료에도 정할 수 있다.

정상적으로 수집된 데이터에도 특징을 왜곡하는 이상치가 있을 수 있다. 따라서 측정 과정이 깨끗했는지와 데이터의 특징이 대표되는지는 따로 따져야 한다.

점들이 가상의 직선 주위에 모여 있으면 그 직선은 데이터의 특징을 잘 나타낸다. 최소 제곱법은 각 점과 직선의 세로 방향 차이, 즉 편차를 제곱해 더한 값을 기준으로 삼는다. 편차가 커질수록 제곱 합도 커지므로 직선에서 멀리 떨어진 점은 결과를 크게 끈다. 최소 제곱법은 편차 제곱 합이 가장 작은 직선을 고르며, 이렇게 구한 직선은 최적의 기울기와 절편을 알려 준다.

이상치를 포함한 데이터에서 직선을 찾는 방법은 크게 둘이다. 한 방법은 무작위로 고른 두 점을 정상치로 가정하고, 그 직선에서 허용 거리 안에 드는 점이 문턱값을 넘는 후보만 남긴다. 다른 방법은 이상치를 포함한 모든 점과 가장 가까운 직선을 고른다. 앞의 방법에서는 후보 직선의 정상치 집합에 이상치가 들어갈 수 있고, 뒤의 방법에서는 선택한 직선이 이상치를 지날 수 있다. 두 방법을 비교할 때는 이상치를 먼저 걸러 내는지, 처음부터 모두 넣는지, 최종 선택이 이상치를 지날 수 있는지를 차례로 확인하면 선지의 옳고 그름이 정리된다.