행렬 — 행렬과 행렬식

행렬 연산·역행렬

정사각행렬 A에 대하여 AB=BA=I를 만족하는 B가 존재하면 A를 가역행렬이라 하고 B를 A^{-1}로 쓴다. 2×2 행렬은 \det A=ad-bc\neq0일 때만 역행렬이 존재하며, 식으로 쓰면 \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}이다. 따라서 역행렬의 성분을 묻는 문제는 \det A를 먼저 구하고, 대각 성분을 서로 바꾸며 나머지 두 성분의 부호를 바꾼 뒤 \frac{1}{\det A}를 곱하는 순서로 푼다. 3×3 행렬은 A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}A를 쓰며, (i,j) 성분은 \frac{C_{ji}}{\det A}이므로 여인수의 행과 열 첨자가 뒤바뀐다. 곱의 역행렬은 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}로 순서가 뒤바뀐다. (A^{2})^{-1}=(A^{-1})^{2}이므로 A^{2}를 먼저 구한 뒤 2×2 공식을 적용하는 방법도 쓸 수 있다. 대각합(trace)은 정사각행렬의 대각 성분의 합이며, (A^{-1})^{2}의 대각합도 같은 방식으로 구한다.