미분방정식 — 상미분방정식

변수분리·완전 미분방정식

변수분리형 미분방정식은 \frac{dy}{dx}=f(x)g(y) 꼴로 쓸 수 있는 방정식이며, 두 변수를 각각 한쪽 변에 모은 \frac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx를 양변 적분하여 푼다. 이때 g(y)=0을 만족하는 상수해를 나눗셈 과정에서 빠뜨리지 않아야 한다. 로지스틱 방정식 \frac{dy}{dt}=3y-y^2은 부분분수로 \frac{1}{y(3-y)}를 분해하여 적분하면 y=\frac{3}{1+Ce^{-3t}} 꼴의 해를 얻고, 초기조건으로 C를 정한다. 완전미분방정식은 M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0에서 M_y=N_x가 성립하는 방정식이며, 이때 F_x=M, F_y=N을 만족하는 포텐셜 F(x,y)를 구하면 해는 F(x,y)=C이다. 포텐셜은 F_x=M을 x에 대해 적분한 뒤 F_y=N으로 남은 함수 g(y)를 정하여 얻는다. 특정 점에서의 기울기는 음함수 미분 y'=-\frac{M}{N}으로 계산한다.