論理回路の設計と論理式

論理回路は、0と1の二つの値を入力として、論理演算の規則に従って出力を決めるデジタル回路である。代表的な論理ゲートには、AND、OR、NOT、NAND、NOR、XORがあり、これらを組み合わせて加算器や制御回路などを構成する。設計では、まず真理値表で入力と出力の関係を整理し、論理式に直して簡単化してから回路に対応させるのが基本の流れである。

基本ゲートの働き

ANDは、入力がすべて1のときだけ出力が1になる。ORは、入力のうちどれか一つでも1があれば出力が1になる。NANDはANDの出力を反転したものであり、NORはORの出力を反転したものである。XORは、入力が異なるときに1、同じときに0を出力する。XORの否定は、入力が同じときに1、異なるときに0を出力し、この動作は等価演算と呼ばれる。

排他的論理和の相補演算が等価演算であるという関係は、入力の一致を判定する回路の基礎になる。 また、NORは「どちらの入力も0のときだけ1になる」と押さえることで、ORとの取り違えを防げる。

NAND素子の二つの入力を同じ信号どうしでつなぐと、その素子はNOTとして働く。 XORの一方の入力を1に固定すると、もう一方の入力は反転して出力される。

論理式の変形と簡単化

ド・モルガンの法則は、論理積の否定が否定の和に、論理和の否定が否定の積に変わるという関係であり、NANDやNORを含む回路を論理式で読むときに使う。NAND素子を二段に使った回路では、各段の入力を同じ信号に揃えて否定を取り出し、最終段でド・モルガンの法則を使うと出力が論理和として表せる。 NAND素子を組み合わせた回路では、入力がともに1の場合とともに0の場合に出力が1となる式として読める場合がある。

カルノー図は、論理変数の組合せを隣接する欄に配置し、隣り合う1をまとめて項を求める図である。図の左右の端どうし、上下の端どうしも隣接とみなすため、端にある1を含む項を作ることができる。まとめた範囲で変化しない変数だけが積の項として残り、その項の和が簡単化された論理式となる。