近似解と探索のアルゴリズム

近似解法は、方程式の解や関数の値を、区間を狭めたり推定値を改善したりする反復計算によって必要な精度まで求める方式である。探索アルゴリズムは、条件を満たすデータを効率よく見つけるため、候補の範囲を規則的に絞り込む方式である。両者は、一定の規則で候補を減らし、停止条件を満たした時点で結果を得る点が共通する。試験では、停止条件までの反復回数、平均比較回数の式、設計法の定義が中心に問われる。

区間を半分にする二分法

連続関数の値の符号が区間の両端で異なり、関数が単調に増加する場合、区間内に解は1つ存在する。二分法は区間の中点における関数値の符号に応じて、解を含む側の端を中点に置き換える操作を繰り返す。各回の操作で区間の幅が半分になるため、k 回目の反復後の区間幅は初期幅の 1/2^k となる。停止条件として誤差の基準を 0.001 と定めた場合、1/2^k が 0.001 未満となる最小の k が反復回数であり、その値は10である。 同じ考え方に基づき、区間の幅が十分に狭まるまでの反復回数を問う問題も出題されている。

二分法は、解が必ず区間内に存在する条件があれば収束が保証される点に利点がある。一方、1回ごとに区間が半分になるため、誤差を小さくするには反復回数が増えるという性質をもつ。実務で関数の根を求める場面では、この収束の確実さが信頼性の根拠として用いられる。

接線を用いたニュートン法

ニュートン法は、ある近似値における曲線の接線を求め、接線が x 軸と交わる点を次の近似値とする方式である。初期値を解の近くに選べば、少ない反復回数で解に収束するという特徴がある。手順では、接線が存在することを前提として、連続する近似値の差の絶対値が一定値以下になった時点で繰り返しを終了する。方程式の近似解法を問う問題では、この接線と x 軸の交点という手順から方式を特定させる出題が見られる。 導関数の値を用いるため、関数の形によっては接線を求める手間や、初期値の選び方が結果に影響する点にも注意が必要である。