線形代数と数値計算

要点と定義

逆行列は、正方行列 A に対し、積がどちらの順序でも単位行列になる行列です。つまり、AB=BA=I を満たす B を A^{-1} と書きます。単位行列 I は、対角成分が1で、それ以外の成分が0の行列です。

たとえば \[ A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&-2&5\\0&1&-4\\0&0&1\end{pmatrix} \] とすると、AB=I です。対角成分はすべて1で、対角より上の成分は (1,2)=2-2=0、(2,3)=4-4=0、(1,3)=5-8+3=0 となります。逆行列かどうかは、積の各成分を確かめて判断できます。

勾配は、多変数関数を各変数で偏微分し、その結果を並べたベクトルです。二変数関数 f(x,y) では、\operatorname{grad} f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y) です。勾配の長さは、各成分の二乗和の平方根です。通常の直交座標では、この長さが関数の最も急な増加方向の変化率を表します。

例として f(x,y)=3x^2+y^2 を考えます。点 (1,2) での偏微分は (6x,2y)=(6,4) なので、勾配の長さは \sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13} です。勾配ベクトルとその長さは異なる量です。

シンプソン法は、区間上の積分を、等間隔の三つの点で近似する公式です。端点を a,c、中点を b、隣り合う点の間隔を h とすると、区間幅は c-a=2h です。このとき \[ \int_a^c f(x)\,dx\approx\frac{h}{3}\{f(a)+4f(b)+f(c)\}. \] 端点の重みはそれぞれ1、中点の重みは4です。一般形の係数 (c-a)/6 に区間幅 2h を入れると、係数は h/3 になります。

適用条件と例

逆行列は正方行列に対して考えます。逆行列を持つ行列は正則と呼ばれます。候補となる行列を掛け、積が単位行列になることを確かめるのが基本的な検算方法です。上の例では AB=I となります。正方行列については、AB=I が確かめられれば、B は A の逆行列です。