連鎖律・ベクトルの射影・ニュートン法

要点と定義

連鎖律とヤコビ行列。 関数 u が f,g を通じて x,y に依存するとき、偏微分は連鎖律で結ばれます。勾配を列ベクトルで表すなら、 \[ \begin{bmatrix}u_x\\u_y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f_x&g_x\\f_y&g_y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_f\\u_g\end{bmatrix}. \] 行列の各行は、それぞれ x、y による偏微分です。例えば u_f=2, u_g=3, f_x=1, g_x=-2, f_y=4, g_y=1 なら、u_x=2-6=-4、u_y=8+3=11 です。列ベクトルの向きと行列の配置を合わせて使います。

ベクトルの正射影。 単位ベクトル \mathbf b の方向へ \mathbf a を正射影した位置ベクトルは (\mathbf a\cdot\mathbf b)\mathbf b です。したがって、\mathbf a の終点からその方向の直線上の垂線の足へ向かうベクトルは、足の位置から始点の位置を引いた (\mathbf a\cdot\mathbf b)\mathbf b-\mathbf a です。例えば \mathbf a=(3,1)、\mathbf b=(1,0) なら、足は (3,0)、求めるベクトルは (0,-1) です。

ニュートン法。 方程式 f(x)=0 の近似解を反復して求める方法です。現在値を x_n とすると、接線による補正量は \Delta x=-f(x_n)/f'(x_n)、次の値は x_{n+1}=x_n+\Delta x です。補正量の絶対値が許容誤差 \varepsilon より小さければ、十分小さな更新として停止判定に使えます。例えば f(x)=x^2-2、x_0=1 なら、\Delta x=1/2、x_1=1.5 です。

適用条件と例

連鎖律の式は、各関数が対象点で偏微分可能で、依存関係が式のとおりであるときに使います。変数が増えても、行列の行と列の対応を保てば同様に整理できます。