待ち行列と稼働率の計算

待ち行列理論は、要求が処理を待つ状況を確率的に扱い、待ち時間やシステムの負荷を評価する理論である。M/M/1 モデルは、到着がポアソン分布に従い、処理時間が指数分布に従い、窓口が1つで待ち数に制限がない最も基本的な形である。このモデルでは平均待ち時間が利用率によって決まり、利用率が高まるほど待ち時間は急激に増えるため、処理能力の設計では利用率の上限を見極めることが重要になる。

利用率と平均待ち時間の式

利用率 ρ は到着率 λ を処理率 μ で割った値であり、ρ が1未満であることが待ち行列の安定する条件である。平均処理時間を T とすると処理率は μ=1/T となり、待ち行列に並んでから処理が始まるまでの平均待ち時間は ρT/(1−ρ) で表される。ここで求めるのはサービスを受けるまでの待ち時間であり、処理時間を含めた滞在時間は待ち時間に T を加えた値になる点を区別しておく必要がある。

待ち時間が急増する境目

平均待ち時間が平均処理時間 T 以上となる条件は ρ/(1−ρ) ≥ 1、すなわち利用率が50%以上となる場合である。伝票データを処理するシステムを題材にした問題では、この境目を正しく求められるかが問われている。同じ設定で利用率が33%のときは待ち時間が T の半分程度にとどまり、T に達しないことも確認できる。このように利用率が一定値を超えると待ち時間が急に伸びる性質は、余裕をもった能力設計の根拠になる。

窓口統合時の利用率の変化

二つの支店それぞれにATMが1台ずつある状態を、1台に統合する場面を考える。統合すると到着する利用者は両支店の合計となるため、統合後の利用率は統合前の2倍、すなわち2ρになる。統合後の平均待ち時間は、この利用率と統合後の平均サービス時間 T_s を用いて 2ρ/(1−2ρ)×T_s で求められる。この式は利用率 2ρ が1未満であることを前提とするため、統合によって処理能力が不足すると待ち時間は際限なく増える。統合の判断では、この前提が成り立つかを事前に確認することが欠かせない。