誘電体挿入と静電容量

誘電体挿入と静電容量は、導体の間に誘電体を満たしたときに、コンデンサの静電容量、電荷、電圧、蓄積エネルギーがどのように変化するかを定める原理である。静電容量は導体の形状と、導体の間を満たす物質の性質によって決まる量である。物質の性質は誘電率で表され、真空の誘電率を ε0 とし、誘電体の比誘電率を εr とすると、その誘電体の誘電率 ε は次の式で表される。

ε = εr ε0

比誘電率 εr と誘電率 ε とは区別しなければならない。εr は単位をもたない比の値であり、ε は F/m の単位をもつ絶対量である。

誘電体に電界を加えると分極が起こり、誘電体の表面に束縛電荷が現れる。平行板間でこの束縛電荷が作る電界は、極板上の自由電荷が作る電界と逆向きになる。自由電荷を一定に保つと、合成電界が弱まり、極板間の電圧が下がる。電源で電圧を一定に保つと、電源から自由電荷が供給される。

平行板コンデンサの静電容量の変化

極板面積が S、極板間隔が d の平行板コンデンサについて、極板間が真空である場合の静電容量 C0 は次の式で表される。

C0 = ε0 S / d

極板間の全体を比誘電率 εr の誘電体で満たすと、静電容量は εr 倍になる。すなわち、誘電体を満たした後の静電容量 C は次の式で表される。

C = εr C0

極板の面積と間隔が同じで、端の電界の広がりを無視し、極板間を均一な誘電体で満たす場合の関係である。電源を切り離しても接続したままでも、この条件での静電容量は εr 倍になる。

数値で確かめる。ε0 を 8.85 × 10⁻¹² F/m、極板面積 S を 0.02 m²、極板間隔 d を 1 mm、比誘電率 εr を 4 とする。真空の場合の静電容量は次のとおりである。

C0 = 8.85 × 10⁻¹² × 0.02 / (1 × 10⁻³) ≒ 1.77 × 10⁻¹⁰ F

誘電体で満たした場合の静電容量は、この値の 4 倍の約 708 pF となる。

電荷が一定の場合と電圧が一定の場合

電源から切り離されたコンデンサでは、電荷 Q が一定に保たれる。この条件で誘電体を満たすと、静電容量が εr 倍になるため、電圧は次の式のとおり 1/εr 倍に下がる。

V' = Q / (εr C0) = V / εr

蓄積エネルギーは W = Q² / (2C) で表されるから、静電容量が εr 倍になると蓄積エネルギーは 1/εr 倍に減少する。電荷一定の条件では、誘電体の挿入によって電圧と蓄積エネルギーがともに減少する。

一方、コンデンサが電源に接続されたまま電圧 V が一定に保たれる場合は、誘電体を満たしても電圧は V のままである。この条件では、静電容量の増加に応じて電荷が増加し、電荷は次の式で表される値になる。