進数変換と数の表現

進数変換と数の表現は、数を記号の並びとして書き表す方法を定める基礎理論であり、論理回路やディジタル回路の計算の土台になる。十進数は0から9までの10種類の記号を用いて数を表す表記法であり、基数は10である。基数とは位取りの単位となる数のことであり、基数がrの進数では各桁に0からr−1までの記号を用いる。二進数は0と1の2種類の記号だけを用いるため基数は2であり、八進数は基数8、十六進数は基数16である。ディジタル回路では電圧の高低を0と1に対応させて扱うため、二進数が中心的に用いられる。

位取りと各桁の重み

基数rの進数で、小数点より左のn桁目（右端の桁を0桁目とする）の重みはr^nである。各桁の数字にその重みを掛けて合計した値が、その進数で表された数の十進数の値である。例えば二進数1011は、1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0を計算すると十進数の11になる。

小数点より右側の桁は、左から順に重みが1/r、1/r^2、1/r^3と小さくなる。したがって、二進数の小数部0.1は十進数の0.5を表し、0.01は0.25を表す。

十進数から他の進数への変換

十進数の整数を二進数に変換するには、2で割った余りを順に求め、商が0になるまで繰り返す。このとき、最初に得た余りを最下位桁とし、最後に得た余りを最上位桁として並べる。十進数の小数部を二進数に変換するには、小数部に2を掛けて積の整数部を取り出す操作を繰り返す。小数部が0になれば変換は終わるが、0にならない小数は必要な桁数に達したところで打ち切る。十進数の小数の中には、二進数では有限桁で表せないものがある。

二進数と八進数・十六進数の相互変換

表の前に、四つの進数の基数と使う記号を比べる。