RL回路の過渡応答

RL回路の過渡応答とは、抵抗RとインダクタンスLを直列に接続した回路に直流電源をスイッチで投入したとき、または電源を取り去ったときに、回路の電流と各素子の電圧が時間とともに変化し、新しい定常状態に至るまでの現象をいう。過渡現象の中で最も基本的な回路であり、初期値、定常値、時定数の三つを押さえれば、出題される計算の見通しが立つ。

回路方程式と初期条件

直流電圧Eの電源をスイッチで回路に接続した後、回路に流れる電流iは、キルヒホッフの電圧則により次の微分方程式を満たす。

E = Ri + L(di/dt)

インダクタンスLの電流は、スイッチを閉じた直後の瞬間に零から急に変わることができない。これは、インダクタに蓄えられる磁気エネルギーが瞬時に変化しえないことによる。 したがって、t=0の直後においてi=0であり、抵抗の電圧は0Vであるから、電源電圧Eはすべてインダクタの両端に現れる。

電流と電圧の時間変化

上の微分方程式を初期条件i(0)=0で解くと、電流は次の式で表される。

i(t) = (E/R)(1 − e^(−t/τ))

τ = L/Rは時定数であり、単位は秒である。時定数は、電流が定常値E/Rの約63.2%に達するまでの時間を表す量である。時刻tが十分に大きくなると、電流はE/Rの定常値に近づき、そのときインダクタの両端電圧は0Vに収束する。

抵抗の両端電圧v_Rと、インダクタの両端電圧v_Lは、それぞれ次の式で表される。

v_R = E(1 − e^(−t/τ))

v_L = E・e^(−t/τ)

インダクタの電圧v_Lは、t=0で電源電圧Eに等しく、時間の経過とともに指数関数的に減少するとともに、v_Rとv_Lの和は常にEに等しい。

電流の減衰と時定数

定常状態に達した後に電源を取り去り、RとLだけの閉回路にすると、電流は初期値I0から次の式で減衰する。