電気回路の伝達関数

電気回路の伝達関数は、線形時不変の回路において、初期条件をすべて零としたときの出力のラプラス変換を入力のラプラス変換で割った値である。伝達関数は、回路の入力と出力の関係を s の式一つで表す道具であり、過渡応答や周波数応答を調べるための基礎となる。線形時不変の回路では重ね合わせの原理が成り立つため、伝達関数を一度求めれば、任意の入力に対する出力をラプラス変換の計算によって求めることができる。

伝達関数の定義

入力信号 x(t) のラプラス変換を X(s)、出力信号 y(t) のラプラス変換を Y(s) とすると、伝達関数 G(s) は次の式で定義される。

G(s) = Y(s) / X(s)

この式では、分子が出力、分母が入力であり、その比が伝達関数になる。伝達関数は回路の素子の値と接続だけで定まり、入力の大きさや波形には依存しない。この点は、特定の入力に対する応答そのものとは区別しなければならない点である。

初期条件とインピーダンス

伝達関数を求めるときは、コンデンサの初期電圧とコイルの初期電流を零としなければならない。初期条件が零でない場合、ラプラス変換した回路方程式に初期値の項が加わるため、出力と入力の比だけで表すことができなくなる。

ラプラス変換後のインピーダンスは、抵抗 R について R、インダクタンス L のコイルについて Ls、静電容量 C のコンデンサについて 1/(Cs) である。これらを分圧または分流の関係に当てはめると、電圧比や電流比を s の有理式として書くことができる。直列回路の分圧を用いる計算は、計算問題の基本として出題されている

代表的な回路の計算例

抵抗 R と静電容量 C を直列に接続し、電源電圧を入力、コンデンサの両端電圧を出力とする回路を考える。コンデンサのインピーダンスは 1/(Cs) であるから、分圧の式により次の結果が得られる。

G(s) = 1 / (CRs + 1)

同じ回路で抵抗の両端電圧を出力とすると、分圧の式から次の伝達関数が得られる。出力を取り出す素子を変えると、伝達関数の分子が変わる