電池の内部抵抗と最大電力

第三種電気主任技術者試験の理論科目では、起電力をもつ電池に内部抵抗があるとき、外部に接続した負荷抵抗が受け取る電力がどのように決まるかを問う計算問題が出題される。過去10年では同じ論点が7回出題されており、その大半が計算問題である。この論点が扱う原理は、電池の内部抵抗が回路の電流と端子電圧を変えること、そして負荷で消費される電力が負荷抵抗の値によって変化し、ある条件のもとで最大になることの二点である。

内部抵抗を含む電池の等価回路

実際の電池は、起電力 E の理想的な電圧源に内部抵抗 r が直列に入った構成で考えると扱いやすい。この等価回路に負荷抵抗 R を接続すると、回路を流れる電流 I は、起電力 E を内部抵抗 r と負荷抵抗 R の和で割った値になる。

I = E / (R + r)

このとき、負荷の両端に現れる端子電圧 V は、起電力 E から内部抵抗による電圧降下 rI を差し引いた値になる。すなわち、負荷に電流が流れるほど端子電圧は起電力より低くなる。

V = E − rI = RI

負荷が消費する電力と最大電力の条件

負荷抵抗 R で消費される電力 P は、電流 I の二乗に負荷抵抗 R を掛けた値である。電流の式を代入すると、P は起電力 E、負荷抵抗 R、内部抵抗 r だけで表される。

P = I²R = E²R / (R + r)²

この式から、負荷抵抗の値による電力の変化を二つの極端な場合で確かめることができる。R を 0 にすると電流は最大値 E / r となるが、負荷で消費される電力は 0 になる。反対に、R を非常に大きくすると電流が小さくなるため、電力も 0 に近づく。 したがって、電力を最大にする負荷抵抗の値は、0 と無限大の間のどこかに存在する。

P を R で微分して 0 とおく計算を行うと、dP/dR が 0 となるのは R が r と等しいときである。このとき P は最大となるのであって、R を小さくするほど電力が増えるわけではない。 最大電力は、R = r の条件を P の式に代入して得られる。