電界中の荷電粒子の運動

電界中の荷電粒子の運動とは、電界から静電気力を受けた電荷が、その力によってどのように加速され、どのような軌道を描くかを扱う論点である。電界は電荷に静電気力を及ぼす場であり、電荷の運動は力と質量から定まる加速度によって記述される。したがって、この論点では力の大きさだけでなく、力の向きと電荷の符号を区別して扱わなければならない。

電界から受ける力と加速度

電界の強さが E [V/m] である点に置かれた電荷 q [C] は、電界から静電気力を受ける。q が正の電荷であれば力は電界と同じ向きに働き、q が負の電荷であれば力は電界と逆向きに働く。力の大きさは次の式で与えられる。

F = qE

質量 m [kg] の粒子に静電気力だけが働くとき、運動方程式 ma = F より加速度の大きさは次の式で求められる。

a = qE / m

加速度は電界の強さ E に比例し、質量 m に反比例する。同じ電界の中では、質量が小さい粒子ほど大きい加速度を得る。この関係は、電荷の運動を計算する際の出発点となる。

一様電界中の直線運動と仕事・エネルギー

一様な電界とは、空間の各点で電界の大きさと向きが等しい電界をいう。二枚の平行板電極の間に生じる電界は、極板の端を除けば一様とみなせる。

電界の向きと初速度の向きが一致する場合、粒子は直線上を等加速度運動する。このとき速さの変化は、力がする仕事と運動エネルギーの変化の関係から求める方法が簡便である。電位が V_A である点 A から、電位が V_B である点 B へ電荷 q が移動するとき、静電気力がする仕事 W は次の式で与えられる。

W = q(V_A − V_B)

仕事は運動エネルギーの変化に等しいから、質量 m の粒子が初速度 v_0 から速さ v になったときの関係は次の式で表される。

(1/2)mv² − (1/2)mv_0² = q(V_A − V_B)

静止した負電荷の粒子が低電位側の極板から出発し、高電位側の極板へ向かって加速される場合には、q が負の値であるため右辺は正となり、粒子の運動エネルギーは増加する。負電荷は電位の低い側から高い側へ移動するときに、その運動エネルギーを増やす。この場合、粒子の経路の形は仕事の値に影響しない。

電界に垂直に入射する場合の放物運動

初速度 v_0 の方向が電界の向きと垂直である場合、電界方向の運動と初速度方向の運動は互いに独立に扱える。初速度方向には静電気力が働かないため、この方向の粒子は等速直線運動をする。一方、電界方向には一定の加速度 a = qE/m で等加速度運動をする。この運動の形式は、重力場における水平投射と同じである。