応用数学

要点と定義

応用数学では、確率・統計、数値計算・数値解析、待ち行列理論などの考え方を使って、データを分析し、近似解や待ち時間を求めます。相関係数は二つの変量の線形関係の向きと強さを表します。全ての標本点が傾きの正の直線上にある完全な正の線形関係では、相関係数は＋1です。この設問の判断には、直線の傾きが正であることと、全点がその直線上にあることが必要です。相関だけから因果関係は判断できません。

独立な試行を一定回数行い、各回の成功確率が同じとき、成功回数は二項分布で扱えます。成功する回の位置の選び方を組合せで数え、各配置の確率を掛けます。確率の計算では、独立性、成功確率が一定であること、求める成功回数を確認します。

統計では、平均や標準偏差を使って分布やデータを比較します。正規分布は平均を中心に左右対称です。平均からの距離を標準偏差で割った標準化得点を使うと、正規分布で同じ側の確率を比較できます。標準化得点が小さい側ほど上側確率は大きくなります。人数比較では、元の値だけでなく平均と標準偏差からの位置が判断に必要です。

正規分布の図を読むときは、山の中心が平均を表すことと、平均から標準偏差に当たる目盛りまでの距離を区別します。左右対称の釣鐘形かどうかも確認します。これらが平均と標準偏差に合う図を判断する手掛かりです。

数値解析では、厳密解を直接求めにくい場合に近似解を計算します。ニュートン法は、現在の近似値における接線と横軸の交点を次の近似値にする方法です。更新には接線の傾きが必要なので、導関数が0でないことを確認します。初期値によっては解に収束しない場合があります。

待ち行列では、到着とサービスの条件から混雑や待ち時間を見積もります。M/M/1モデルで利用率をρ′、平均サービス時間をT_sとすると、サービス時間を含まない平均待ち時間は W_q＝ρ′/(1−ρ′)×T_s です。利用率は1未満である必要があります。式を使うには、対象全体の利用率と、求める時間にサービス時間を含めるかを確認します。

適用条件と例

独立な4回の試行で各回の成功確率が1/3なら、ちょうど2回成功する確率は、成功する位置の選び方6通りに、各配置の確率 (1/3)²×(2/3)² を掛けて求めます。したがって、6×(1/3)²×(2/3)²＝8/27です。試行間に影響がある場合や成功確率が回ごとに異なる場合、この二項分布の式をそのまま当てはめられません。

二項近似では、二項展開したときに省略する二次以上の項が十分小さいことが条件です。例えば、指数が大きいと、αが小さくても省略項の影響が残ることがあります。αの大きさだけで決めず、指数も含めて近似の妥当性を判断します。

正規分布で上側の人数を比べる場合は、各値について「値と平均の差を標準偏差で割る」計算をしてから比較します。例えば平均50、標準偏差5の分布で値60は、平均から標準偏差2個分上です。比較には対象の分布を正規分布とみなせることと、平均・標準偏差の単位が値と揃っていることが必要です。

ニュートン法の更新は、接線の傾きが0でない点で行います。例えば f(x)＝x²−2 の近似値を x＝1.5 とすると、接線の横軸との交点は 1.5−(1.5²−2)/(2×1.5)＝約1.42 です。次の近似値を同じ手順で求めますが、収束を保証するには初期値などの条件にも注意します。

M/M/1モデルを使うときは、窓口が1つであること、モデルの前提に合うこと、利用率が1未満であることを確認します。利用率が1以上なら安定条件を満たしません。また、求める量がサービス時間を除く待ち時間か、サービス時間を含む時間かを区別します。平均サービス時間を掛けるため、結果の単位も時間です。