応用数学

要点と定義

相関係数は、二つの変量の線形関係の向きと強さを表し、値は−1から＋1の範囲です。標本点がすべて傾きの正の直線上にあるときは完全な正の相関となり、相関係数は＋1です。相関係数が0なら線形の相関がないことを示しますが、非線形の関係までないとは限りません。

二項定理では、（1＋α）のn乗を展開すると、定数項と一次の項の後に二次以上の項が続きます。1＋n×αで近似するには、省略する高次の項が十分小さいことが必要です。αの大きさだけで誤差が決まるわけではなく、nも影響します。nが1なら元の式と近似式は等しくなります。

正規分布は平均を中心に左右対称な分布です。標準偏差はばらつきの尺度で、ある値が平均から何標準偏差離れているかを比べるには、「値から平均を引き、標準偏差で割る」標準化を使います。同じ基準点では標準化した値が小さいほど、その点以上となる確率は大きくなります。グラフでは山の中心が平均、中心から標準偏差分の距離がどこにあるかを確認します。

ニュートン法は、関数曲線上の点における接線とx軸の交点を次の近似値にする反復法です。現在値をx、関数をfとすると、更新式は「次の値＝x−f(x)÷f′(x)」です。微分係数f′(x)が0では更新できず、初期値によっては収束しないこともあります。

待ち行列のM/M/1モデルは、ポアソン過程による到着、指数分布のサービス時間、窓口一つを前提とします。利用率をρ、平均サービス時間をTとすると、サービス開始までの平均待ち時間はρT÷（1−ρ）です。ここでいう待ち時間にはサービス中の時間を含みません。

マクシミン原理は、各案の最も不利な場合を見て、その場合の利得が最も大きい案を選ぶ考え方です。過去の出題で扱った補足として、選択肢ごとの利得表からこの基準で投資案を選ぶ判断があります。

交差検証は、データを複数のグループに分け、評価に使うグループを入れ替えながら学習と評価を繰り返す方法です。これはシラバスの指定小項目としてではなく、過去の出題で扱った補足です。

適用条件と例

相関係数を読む例として、すべての標本点が傾きの負の直線上に並ぶなら、完全な負の線形関係なので相関係数は−1です。一方、点が曲線状に並んでいても、相関係数だけではその形を十分に表せないことがあります。

近似の使い方を考えます。たとえばnを3、αを0.02とすると、（1＋α）の3乗の展開には、1＋3αに加えて二次・三次の項があります。近似の精度を判断するときは、それらの省略項の大きさを確認します。

待ち行列の例として、平均サービス時間Tが8秒、利用率ρが0.25なら、平均待ち時間は0.25×8÷（1−0.25）で約2.67秒です。この計算はM/M/1の前提と、待ち時間をサービス開始までとする定義に基づきます。到着やサービスの分布、窓口数が異なる場合は、同じ式をそのまま使えるとは限りません。

正規分布の例では、平均が50点、標準偏差が5点なら、60点は平均から2標準偏差上です。別の得点群と比べる場合も、得点差だけでなく標準化した距離を比べます。グラフでは、平均の位置と標準偏差に相当する幅を別々に読み取ります。

ニュートン法では、現在値が4、関数値が2、微分係数が5なら、次の値は4−2÷5＝3.6です。更新式を計算できても、それだけで解への収束が保証されるわけではありません。

マクシミン原理を使う場面では、結果が不確実な案について、まず各案の最も不利な状況を特定し、その状況での利得を比べます。この基準は、平均的な結果や最良の場合を重視する判断とは異なります。過去の出題で扱った補足として押さえます。