組合せ・確率と計数

組合せ・確率と計数は、一定の条件のもとで選び方・並べ方・起こりうる場合の数を正確に数える分野である。応用情報技術者試験では、コード体系の桁数の見積もり、メンバー同士の組合せによる所要時間の算出、独立な事象の確率計算、集合の演算規則の理解などが、設計や業務の判断と結びつく形で出題される。解く前に「数えるのは選ぶ対象か並べる対象か」「同じものの重複を許すか」を整理すると、誤った公式を選ぶ危険が減る。

組合せと順列の違い

順列は要素を区別して並べる数であり、組合せは要素を選ぶだけで順番を問わない数である。n 個から r 個を選ぶ組合せの数は、順列の数を r! で割って求める。例えば 16 人のメンバーから 2 人を選んで 1 対 1 の顔合わせを行う場合、同じ 2 人の組は一度だけ数えるため、16×15÷2 で 120 組となる。このように組の数を先に求め、そこに 1 組あたりの所要時間を掛けると延べ時間が得られる。人数そのものに時間を掛けると、組の数え方を誤って全体の時間が合わなくなる。

桁数と場合の数の見積もり

コードの桁数を決める問題では、使える文字の種類を底とするべき乗が、必要な個数を上回る最小の桁数を探す。文字 26 種類を使う場合、2 桁では 26² で 676 通り、3 桁では 26³ で 17,576 通りとなる。顧客数が毎年前年比で増える想定なら、将来の総数を先に計算し、その数を超える最小の桁数を選ぶ。8,000 人が毎年 2 割ずつ増えて 3 年後に約 13,824 人になるため、2 桁では不足し 3 桁が必要となる。

進数の対応を使う数え上げも、同じ考え方で扱える。特定の数字を使わない番号体系では、使える数字を小さい順に並べ、その個数を基数とする進数に対応させる。例えば 4 と 9 を使わない 4 桁の部屋番号は、残る 8 種類の数字を 8 進数の各桁に当てはめて順位を求められる。0000 は番号に含まれないため、対応する 8 進数の値がそのまま順位になる。この対応を一度作れば、任意の番号の順位を機械的に計算できる。