応用数学：確率と待ち行列

要点と定義

確率は、ある事象が起こる度合いを表す。全結果数に対する条件に合う結果数の比で求められるのは、各結果が等確率の場合である。組合せは、選ぶ順序を区別せずに対象を選ぶ方法の数を表す。

正規分布は、平均を中心に左右対称な釣鐘形の連続型確率分布である。標準偏差は、値のばらつきの尺度であり、平均からの距離を測る単位となる。

ベイズの定理は、事前確率と観測データを用いて事後確率を求める関係である。事前確率は観測前、事後確率は観測後の確率を指す。

待ち行列のM/M/1モデルは、確率的な到着とサービスを扱う窓口1つのモデルである。利用率ρが1に近づくほど、平均行列待ち時間は急増する。

適用条件と例

結果が等確率である場合、事象の確率は条件に合う結果数を全結果数で割って求められる。例えば、良品90個、不良品10個の100個から戻さず3個を選ぶとき、全て良品となる確率は組合せの比 C(90,3)/C(100,3) である。抽出順に追う場合は、良品を続けて選ぶ条件付き確率 90/100、89/99、88/98 の積でも求められる。

正規分布は平均を中心に左右対称な連続型確率分布である。平均60、標準偏差10なら、平均から標準偏差1個分の位置は50と70である。

ベイズの定理は、観測結果を得た後で原因候補や仮説の確率を更新するときに用いる。玉の色を観測してから、どの袋に由来するかを推定するのがその例である。

M/M/1モデルでは、到着率をλ、サービス率をμとすると利用率ρはλ/μであり、安定条件はλ<μである。平均行列待ち時間は ρ/[μ(1−ρ)] で表される。同じサービス率で利用率が0.25から0.40に変化すると、この待ち時間の比は (0.40/0.60)÷(0.25/0.75)=2 となる。

不良品が10個なら良品は90個である。戻さず3個を選ぶ場合、全て良品となる確率は、良品から3個選ぶ組合せ数を全体から3個選ぶ組合せ数で割って求める。各抽出段階の条件付き確率を掛ける方法も同じ結果になる。組合せによる結果数の比は等確率の抽出を前提とする。

この設問が扱う過学習は機械学習の概念であり、指定された応用数学のシラバス範囲には含まれない。この小項目の確率・統計の知識だけでは、その定義を根拠付けられないため本文の対象外とする。

M/M/1モデルでサービス率が一定なら、平均行列待ち時間は利用率ρに対してρ/[μ(1−ρ)]で表される。利用率が0.25のときのρ/(1−ρ)は1/3、0.40のときは2/3なので、待ち時間の比は2となる。

正規分布は平均を中心とする左右対称な釣鐘形であり、平均が60なら中心は60にある。標準偏差10は、平均から横軸上で10離れた位置を示す。