2024년 5급 공채 기술 2차 통계
문제 3개 · 50점. 참고 답안·채점 기준은 앱에서 볼 수 있습니다.
제1문 (15점)
X \,가 균일분포 U \, ( 0 , \, \, \theta ) \, \, ( \theta > 0 )를 따를 때, Y = \min ( X , \, \, \frac{\theta}{2} )이라 하자. 다음 물음에 답하시오. (총 15점)
- (1) Y \,의 누적분포함수(cumulative distribution function)를 구하시오. (5점)
- (2) E ( Y \, )를 구하시오. (5점)
- (3) Var ( Y \, )를 구하시오. (5점)
제2문 (15점)
다음은 확률변수 X \,와 Y \,의 결합확률분포표이다.
다음 물음에 답하시오. (총 15점)
| X Y | 1 | 2 | 3 |
| 2 | \frac{{1}}{{12}} | \frac{{1}}{{6}} | \frac{{1}}{{12}} |
| 3 | \frac{{1}}{{6}} | 0 | \frac{{1}}{{6}} |
| 4 | 0 | \frac{{1}}{{3}} | 0 |
다음 물음에 답하시오. (총 15점)
- (1) 조건부확률 P \, ( X \, = 1 \, \, X + Y \le 5 )를 구하시오. (5점)
- (2) Y \,의 조건부 기댓값 E ( Y \, \, \, \, X \, = 2 ) \,를 구하시오. (5점)
- (3) Y \,의 조건부 분산 Var \left( Y \, \, \, \, X \, = 2 \right)를 구하시오. (5점)
제3문 (20점)
반응변수 y_{{}}가 두 개의 범주형 설명변수 x_{{1}}(범주 A)과 x_{{2}}(범주 B \,)에 의해 어떻게 변화하는지를 알기 위해 다중선형회귀모형(multiple linear regression model)을 적합하였다.
(단, \epsilon_{{i}} \,는 평균이 0이고 분산이 \sigma^{{2}}인 정규분포를 따르며 서로 독립이다)
범주 A_{{1}}에서 x_{{1}} = 1이고 범주 A_{{2}}에서 x_{{1 \,}} = 0이며, 범주 B_{{1}}에서 x_{{2}} = 1이고 범주 B_{{2}}에서 x_{{2}} = 0이며 자료의 구조는 다음과 같다.
범주 A_{{1}}, 범주 B_{{1}}에서 반응변수 y의 관측값의 합 \sum_{{i = 1}}^{{4}} y_{{i}} = 24이며, 반응변수 y의 관측값의 제곱합 \sum_{{i = 1}}^{{16}} y_{{i}}^{{2}} = 590이다. 이 자료에 대해 최소제곱법(method of least squares)으로 적합한 회귀식은 {\hat{y}} = 2 + 6 x_{1} + 2 x_{2} + c x_{1} x_{2}이다. 다음 물음에 답하시오. (단, c는 상수이다) (총 20점)
모형:y_{{i}} \, = \, \beta_{{0 \,}} \, + \, \beta_{{1}} \, x_{{1 i}} \, + \, \beta_{{2}} \, x_{{2 i}} + \beta_{{3}} x_{{1 i}} x_{{2 i}} + \epsilon_{{i}}, i = 1 , \cdots , 16
(단, \epsilon_{{i}} \,는 평균이 0이고 분산이 \sigma^{{2}}인 정규분포를 따르며 서로 독립이다)
범주 A_{{1}}에서 x_{{1}} = 1이고 범주 A_{{2}}에서 x_{{1 \,}} = 0이며, 범주 B_{{1}}에서 x_{{2}} = 1이고 범주 B_{{2}}에서 x_{{2}} = 0이며 자료의 구조는 다음과 같다.
| 범주 B 범주 A | B_{{1}} ( x_{{2}} = 1 ) | B_{{2}} ( x_{{2}} = 0 ) |
| A_{{1}} ( x_{{1}} = 1 ) | y_{{1}} y_{{2}} y_{{3}} y_{{4}} | y_{{9}} y_{{10}} y_{{11}} y_{{12}} |
| A_{{2}} ( x_{{1}} = 0 ) | y_{{5}} y_{{6}} y_{{7}} y_{{8}} | y_{{13}} y_{{14}} y_{{15}} y_{{16}} |
범주 A_{{1}}, 범주 B_{{1}}에서 반응변수 y의 관측값의 합 \sum_{{i = 1}}^{{4}} y_{{i}} = 24이며, 반응변수 y의 관측값의 제곱합 \sum_{{i = 1}}^{{16}} y_{{i}}^{{2}} = 590이다. 이 자료에 대해 최소제곱법(method of least squares)으로 적합한 회귀식은 {\hat{y}} = 2 + 6 x_{1} + 2 x_{2} + c x_{1} x_{2}이다. 다음 물음에 답하시오. (단, c는 상수이다) (총 20점)
- (1) 회귀계수 \beta_{{3}}의 추정값 c를 구하시오. (5점)
- (2) \sigma^{2}의 불편추정값(unbiased estimate)을 구하시오. (5점)
- (3) 동일 자료를 회귀모형 y_{{i}} = \alpha_{{0}} + \alpha_{{1}} x_{{1 i}} + \alpha_{{2}} x_{{2 i}} + \eta_{{i}}, i = 1 , \cdots , 16에 최소제곱법으로 적합한 회귀식을 구하시오. (단, \eta_{{i}} \,는 평균이 0이고 분산이 \tau^{{2}}인 정규분포를 따르며 서로 독립이다) (10점)