5급 공채 2차

2024년 5급 공채 기술 2차 수치해석

문제 4개 · 50점. 참고 답안·채점 기준은 앱에서 볼 수 있습니다.

제1문 (10점)

아래와 같이 주어진 데이터를 이용해서 수치적분 값을 구하려고 한다. 다음 물음에 답하시오. (단, 함수 f ( x )가 조각선형(piecewise linear)이라 함은 각 구간 [ x_{{i}} \, , \, x_{{i + 1}} ]( i = 0 , \, \, 1 , \, \, 2 , \, \, 3 )에서 1차 함수임을 의미하고, f ( x )가 조각이차(piecewise quadratic)라 함은 각 구간 [ x_{{i}} \, , \, x_{{i + 2}} ]( i = 0 , \, \, 2 )에서 2차 함수임을 의미한다) (총 10점)
i01234
x_{{i}}11.522.53
y_{{i}}0311- 1
  1. (1) y_{{i}} = \, f ( x_{{i}} )( 0 \le i \le 4 )를 만족하는 조각선형 함수 f에 대하여 \int_{{1}}^{{3}} {f ( x ) \, dx}를 구하시오. (5점)
  2. (2) y_{{i}} = \, f ( x_{{i}} )( 0 LEQi \le 4 )를 만족하는 조각이차 함수 f에 대하여 \int_{{1}}^{{3}} {f ( x ) \, dx}를 구하시오. (5점)

제2문 (10점)

행렬 방정식 A {{\, x}} = {{b}}에 대하여 다음 물음에 답하시오. (총 10점)
A = \left[ {matrix {5 \, \, \, \, \, \, \, \, 3 \, \, \, \, \, \, \, \, 0 \\ 3 \, \, \, \, \, \, \, \, 5 \, \, - 1 \\ 0 \, \, \, - 1 \, \, \, \, \, \, \, \, 5}} \right], {{x}} = \left[ pile {pile {x_{{1}} \\ x_{{2}}} \\ x_{{3}}} \right], {{b}} = \left[ pile {pile {10 \\ 5} \\ 10} \right]
  1. (1) 행렬 방정식 A {{\, x}} = {{b}}에 대하여 Jacobi 반복법을 적용한 근사해를 {\mathbf{x}}_{{\mathrm{J}}}^{{( k )}}라 하고, Gauss-Seidel 반복법을 적용한 근사해를 {\mathbf{x}}_{{\mathrm{GS}}}^{{( k )}}라 할 때, 초기값 {\mathbf{x}}_{{\mathrm{J}}}^{{( 0 )}} = {\mathbf{x}}_{{\mathrm{GS}}}^{{( 0 )}} = \left[ pile {pile {0 \\ 0} \\ 0} \right]에 대하여 {{x}}_{{J}}^{{( 2 )}}와 {{x}}_{{GS}}^{{( 2 )}}의 값을 구하시오. (6점)
  2. (2) 임의의 {{x}}_{{J}}^{{( 0 )}}에 대해서 Jacobi 반복법으로 구한 근사해가 A {{\, x}} = {{b}}의 유일한 해로 수렴함을 설명하시오. (4점)

제3문 (15점)

미분방정식 \frac{{dy}}{{dx}} = f ( x , \, y )의 근사해를 구하기 위해 수치해법 y_{{n + 2}} =4 y_{{n + 1}} - 3 y_{{n}} - 2 hf ( x_{{n}} , \, \, y_{{n}} )을 사용하고자 한다. (단, 여기서 h는 x의 구간을 균등하게 나눈 간격의 크기를 나타낸다) (총 15점)
  1. (1) 위 수치해법을 적용하여, 미분방정식 y \, ' = 1 + y^{{2}}에 대해 y ( 0 ) = 0, y ( 0.1 ) = 0.1일 때 y ( 0.3 )의 값을 구하시오. (5점)
  2. (2) 테일러(Taylor) 정리를 사용하여, 위 수치해법의 전체 오차(total 또는 global error)를 O \, ( h^{{m}} )의 형태로 구하시오. (10점)

제4문 (15점)

두 비선형 함수로 구성된 연립방정식 f_{{1}} ( x_{{1}} , \, x_{{2}} ) = 0, f_{{2}} ( x_{{1}} , \, x_{{2}} ) = 0의 해를 뉴턴 방법으로 구하려고 한다. (단, 두 함수 f_{{1}} ( x_{{1}} , \, x_{{2}} ), f_{{2}} ( x_{{1}} , \, x_{{2}} )는 미분 가능하다) (총 15점)
  1. (1) 2차원 벡터 함수 {{f \,}} ( {{x}} ) = {bmatrix {f_{{1}} ( x_{{1}} , \, x_{{2}} ) \\ f_{{2}} ( x_{{1}} , \, x_{{2}} )}}의 점 {{x \,}} = {bmatrix {x_{{1}} \\ x_{{2}}}}에서 {{h}} \, = {bmatrix {h_{{1}} \\ h_{{2}}}}에 대한 1차 테일러 전개를 다음과 같이 표현할 때, 행렬 G_{{\, {{f}}}}를 구하시오. (5점)
    {{f}} ( {{x + h}} ) \approx {{f}} ( {{x}} ) + G_{{\, {{f}}}} \, {bmatrix {h_{{1}} \\ h_{{2}}}}
  2. (2) 1)의 결과를 이용하여, 초기값 {{x}}^{{( 0 )}}에 대해 연립방정식 {{f}} ( {{x}} ) = {{0}}에 대한 근사해 {\mathbf{x}}^{{( n )}}(n > 0)을 구하는 뉴턴 방법을 유도하시오. (5점)
  3. (3) 두 함수 f_{{1}} ( x_{{1}} , \, x_{{2}} ) = 4 x_{{1}}^{{2}} + x_{{2}}^{{2}} - 4, f_{{2}} ( x_{{1}} , \, x_{{2}} ) =x_{{1}}^{{3}} + x_{{1}} x_{{2}} - 1에 대해, 초기값 {{x}}^{{( 0 )}} \, = {bmatrix {- 1 \\ 0}}을 사용하여 뉴턴 근사해 {{x}}^{{( 1 )}}과 {{x}}^{{( 2 )}}를 구하시오. (5점)