2023년 5급 공채 기술 2차 통계
문제 3개 · 50점. 참고 답안·채점 기준은 앱에서 볼 수 있습니다.
제1문 (15점)
확률변수 X의 확률밀도함수가 다음과 같다.
두 확률변수 X_{{1}}, X_{{2}}는 서로 독립이며, 각각 X와 동일한 분포를 따른다.W = e^{{- 3 X_{{}}}}, Y_{{1}} = \min ( X_{1} , \, X_{2} ), Y_{{2}} = \max ( X_{{1}} , \, X_{{2}} )라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (총 15점)
f ( x ) = 3 e^{{- 3 x}}, 0 \, < \, x \, < \, \infty
두 확률변수 X_{{1}}, X_{{2}}는 서로 독립이며, 각각 X와 동일한 분포를 따른다.W = e^{{- 3 X_{{}}}}, Y_{{1}} = \min ( X_{1} , \, X_{2} ), Y_{{2}} = \max ( X_{{1}} , \, X_{{2}} )라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (총 15점)
- (1) 조건부확률 P \, \left( W > \frac{{2}}{{3}} leftvert W > \frac{{1}}{{2}} \right)을 구하시오. (5점)
- (2) S = 3 Y_{{1}}, T = ( Y_{{2}} - Y_{{1}} )이라고 할 때, S \,와 T \,의 결합확률밀도함수를 구하시오. (6점)
- (3) S \,와 T \,의 주변확률밀도함수를 구하고 서로 독립인지 설명하시오. (4점)
제2문 (15점)
자료 ( y_{{i}} , \, x_{{i 1}} , \, x_{{i 2}} )\, ( \, i = 1 , 2 , \cdots , n )에 다중선형회귀모형
y_{{i}} = \beta_{{0}} + \beta_{{1}} x_{{i 1}} + \beta_{{2}} x_{{i 2}} + \epsilon_{{i}}\, ( \, i = 1 , 2 , \cdots , n )를 가정하고 최소제곱법으로 추정한 적합값을 {\hat{{y}}}_{{i}} = {\hat{{\beta}}}_{{0}} + {\hat{{\beta}}}_{{1}} x_{{i 1}} + {\hat{{\beta}}}_{{2}} x_{{i 2}} \, ( i = 1 , 2 , \cdots , n )라고 하자. 다음 물음에 답하시오. (단, \epsilon_{{i}}는 평균이 0인 오차항이고, i = 1 , 2 , \cdots , n이다) (총 15점)
y_{{i}} = \beta_{{0}} + \beta_{{1}} x_{{i 1}} + \beta_{{2}} x_{{i 2}} + \epsilon_{{i}}\, ( \, i = 1 , 2 , \cdots , n )를 가정하고 최소제곱법으로 추정한 적합값을 {\hat{{y}}}_{{i}} = {\hat{{\beta}}}_{{0}} + {\hat{{\beta}}}_{{1}} x_{{i 1}} + {\hat{{\beta}}}_{{2}} x_{{i 2}} \, ( i = 1 , 2 , \cdots , n )라고 하자. 다음 물음에 답하시오. (단, \epsilon_{{i}}는 평균이 0인 오차항이고, i = 1 , 2 , \cdots , n이다) (총 15점)
- (1) 종속변수 y와 적합값 {\hat{{y}}}의 표본공분산은 \frac{{1}}{{n - 1}} \sum_{{i = 1}}^{{n}} ( {\hat{{y}}}_{{i}} - {\overline{{y}}} )^{{2}}임을 증명하시오. (단, {\overline{{y}}} = \frac{{1}}{{n}} \sum_{{i = 1}}^{{n}} y_{{i}}) (7점)
- (2) 종속변수 y와 적합값 {\hat{{y}}}의 표본상관계수를 제곱하면 적합한 회귀모형의 결정계수 R^{{2}}과 같음을 증명하시오. (4점)
- (3) 자료 ( y_{{i}} , {\hat{{y}}}_{{i}} ) \, ( \, i = 1 , 2 , \cdots , n )에 단순선형회귀모형 y_{{i}} = \gamma_{{0}} + \gamma_{{1}} {\hat{{y}}}_{{i}} + \delta_{{i}}\, ( \, i = 1 , 2 , \cdots , n )를 적합하여 얻은 \gamma_{{0}}과 \gamma_{{1}}의 최소제곱 추정량이 각각 {\hat{{\gamma}}}_{{0}} = 0과 {\hat{{\gamma}}}_{{1}} = 1이 됨을 증명하시오. (단, \delta_{{i}}는 평균이 0인 오차항이고, \, \, i = 1 , 2 , \cdots , n이다) (4점)
제3문 (20점)
확률변수 Y의 분포가 다음과 같다.
Y_{1} , Y_{2} , \cdots , Y_{n}을 Y 분포로부터의 크기 n인 확률표본(random sample)이라 하자. 다음 물음에 답하시오. (단, 0 \le thetaLEQ 1) (총 20점)
| y | -1 | 0 | 1 |
| P ( Y = y ) | \frac{1}{2} \theta | 1 - \theta | \frac{1}{2} \theta |
Y_{1} , Y_{2} , \cdots , Y_{n}을 Y 분포로부터의 크기 n인 확률표본(random sample)이라 하자. 다음 물음에 답하시오. (단, 0 \le thetaLEQ 1) (총 20점)
- (1) U = ( Y_{2} - Y_{1} )^{2}의 확률분포를 구하시오. (5점)
- (2) W = \frac{1}{2} U의 기댓값과 분산을 구하시오. (5점)
- (3) Y_{1} , Y_{2} , \cdots , Y_{n} 가운데 영(0)이 아닌 것들의 비율을 Z \,라고 할 때, Z의 기댓값과 분산을 구하시오. (5점)
- (4) n = 2일 때, \theta에 대한 추정량으로 W와 Z 가운데 어느 것이 더 나은 추정량인지 설명하시오. (5점)