5급 공채 2차

2023년 5급 공채 기술 2차 수치해석

문제 4개 · 50점. 참고 답안·채점 기준은 앱에서 볼 수 있습니다.

제1문 (10점)

자료 {(1, 4), (2, 2), (3, 0)}에 대하여 다음 물음에 답하시오. (총 10점)
  1. (1) 이 자료를 가장 잘 설명하는 최소제곱 함수 y \, = \, a \, x \, + \, b \,를 구하는 연립방정식을 제시하고 계수 a \,와 b \,를 구하시오. (5점)
  2. (2) 이 자료를 가장 잘 설명하는 최소제곱 함수 y \, = \, \frac{c}{x} \, + \, \frac{x}{d} \,의 계수 c \,와 d \,를 구하는 연립방정식을 제시하시오. (c \,와 d \,를 구할 필요 없음) (5점)

제2문 (14점)

정적분 \int_{-} 1^{1} p ( x ) dx의 근삿값 p \left( - \sqrt{{\frac{1}{3} \,}} \right) + p \left( \sqrt{{\frac{1}{3} \,}} \right)에 대하여 다음 물음에 답하시오. (총 14점)
  1. (1) p ( x )가 일차 이하의 다항식일 때, 정적분과 근삿값이 일치함을 보이시오. (3점)
  2. (2) Legendre 다항식 q_{0} ( x )＝1, q_{1} ( x )＝x, q_{2} ( x )＝\frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{2}은 서로 수직임을 보이시오. (이때 두 함수의 내적은 정적분 \left\langle f ( x ) , \, \, g ( x ) \right\rangle＝\int_{{- 1}}^{{1}} {} f ( x ) g ( x ) dx로 정의한다) (3점)
  3. (3) p ( x )가 임의의 3차 다항식일 때, p ( x )를 q_{2} ( x )로 나눈 몫을 q ( x ), 나머지를 r ( x )라 하자. 이때 \int_{-} 1^{1} q_{2} ( x ) q ( x ) dx = 0임을 보이시오. (4점)
  4. (4) p ( x )가 임의의 3차 다항식일 때, 정적분과 근삿값이 일치함을 보이시오. (4점)

제3문 (10점)

A x = b 형태의 행렬 방정식의 해를 구하고자 할 때 다음 물음에 답하시오. (총 10점)
  1. (1) 만약 \rho＝VERT I - QA VERT<1을 만족하는 행렬 Q \,를 구할 수 있다면 이를 이용하여 A x = b의 해를 구하는 고정점 반복(fixed-point iteration)식을 제시하시오. (5점)
  2. (2) 1)의 고정점 반복(fixed-point iteration)식에서 얻어진 근삿값 x^{{( k )}}가 초기값 x^{{( 0 )}}에 관계없이 방정식의 해인 x로 수렴함을 보이시오. (5점)

제4문 (16점)

두 개의 루프(loop)를 갖는 닫힌 회로(closed circuit)에서 각 루프의 시간에 따른 전류 I_{{1}} ( t ) , \, \, I_{{2}} ( t )는 다음 연립방정식의 해가 된다.
2 I_{{1}} ( t ) \, + 6 [ I_{{1}} ( t ) - I_{{2}} ( t ) ] + 2 I \,_{{1}} \, ' ( t ) = 12
\frac{{1}}{{0.5}} \int_{{}}^{{}} {I_{{2}} ( t ) \, dt \, \, + 4 I_{{2}} ( t ) \, + \, 6 [ I_{{2}} ( t ) - I_{{1}} ( t ) ] = 0}
I_{{1}} ( 0 ) = 0 , \, \, I_{{2}} ( 0 ) = 0

다음 물음에 답하시오. (총 16점)
  1. (1) 위의 주어진 연립방정식을 1차 미분방정식의 연립방정식(system of first-order differential equations)으로 변환하시오. (6점)
  2. (2) 1)에서 구한 1차 연립미분방정식을 풀기 위한 수치방법 2개를 제시하고 구체적으로 기술하시오. (10점)