2022년 5급 공채 기술 2차 수치해석

문제 4개 · 50점. 참고 답안·채점 기준은 앱에서 볼 수 있습니다.

제1문 (12점)

구간 [ 1 \, , \, \, 3 ] \,에서 정의된 함수 f ( x )에 대한 clamped 3차 스플라인 함수가

\, S ( x ) = {cases {3 ( x - 1 ) + 2 ( x - 1 )^{{2}} - ( x - 1 )^{{3}} \, , \, \, \, \, \, \, \, \, \, 1 \le x < 2 , \, \\ a - b ( x - 2 ) - c ( x - 2 )^{{2}} + d ( x - 2 )^{{3}} \, , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2 \le x \le 3}}

이다. f \, ' ( 1 ) = f \, ' ( 3 )일 때, a , \, \, b , \, \, c \, , \, \, d \,의 값을 구하시오. (12점)

제2문 (14점)

어떤 환자의 뇌단층사진을 2mm 간격으로 촬영하였고, 촬영된 사진에서 종양의 단층면적은 다음과 같았다. (단, 단층면적의 단위는 mm²이다)

1, 2, 2, 3, 6, 4, 1

다음 물음에 답하시오. (총 14점)

(1) 사다리꼴 방법을 이용하여 종양의 부피를 구하시오. (4점)
(2) 심프슨(Simpson) 방법을 이용하여 종양의 부피를 구하시오. (5점)
(3) 심프슨(Simpson)의 3/8 방법을 이용하여 종양의 부피를 구하시오. (5점)

제3문 (12점)

함수 f ( x )가 주어졌을 때 다항식 p ( x )가 i = 0 , \, \, 1 , \, \, \cdots , \, \, n에 대하여 x = x_{i} 에서 p ( x_{{i}} ) = f ( x_{{i}} )이면, 다항식 p ( x )가 함수 f ( x )를 보간한다(interpolate)고 한다. 다음 물음에 답하시오. (총 12점)

(1) x = 1 , \, \, 2 , \, \, 3에서 함수 f ( x )를 보간하는 라그랑지(Lagrange) 보간 다항식 p ( x )와 x = 2 , \, \, 3 , \, \, 4에서 함수 f ( x )를 보간하는 라그랑지(Lagrange) 보간 다항식 q ( x )를 구하시오. (6점)
(2) 1)의 결과를 이용하여 x = 1 , \, \, 2 , \, \, 3 , \, \, 4에서 함수 f ( x )를 보간하는 보간 다항식 s ( x )를 p ( x )와 q ( x )를 이용하여 표현하시오. (6점)

제4문 (12점)

모든 성분이 실수인 2차 정방행렬 A가 다음과 같이 주어져 있다.

A = {bmatrix {a_{{11}} \, \, \, \, a_{{12}} \\ a_{{21}} \, \, \, \, a_{{22}}}}

모든 성분이 실수인 임의의 벡터 {{x =}} {bmatrix {x_{{1}} \\ x_{{2}}}}에 대하여 {{x}}^{{T}} \, A {{x}} \ge 0가 성립한다고 가정할 때, 다음 물음에 답하시오. (총 12점)

(1) a_{{11}} \ge 0, a_{{22}} \ge 0임을 보이시오. (4점)
(2) | a_{{12}} + a_{{21}} | \le a_{{11}} + a_{{22}}임을 보이시오. (4점)
(3) A \, x \, = 0인 x ! = 0가 존재하면, A는 대칭행렬임을 보이시오. (4점)