5급 공채 2차

2021년 5급 공채 기술 2차 수치해석

문제 4개 · 50점. 참고 답안·채점 기준은 앱에서 볼 수 있습니다.

제1문 (12점)

방정식 x^{{2}} - 2 = 0의 양의 해를 r이라 하고 그 근삿값을 계산하려 한다. 물음에 답하시오. (총 12점)
  1. (1) 해 r은 구간 [ \, 0 , \, 2 ]에 포함됨을 보이시오. (3점)
  2. (2) 구간 I \,_{{0}} = [ \, 0 , \, 2 ]에서 이분법(bisection method)을 이용하여 r \, \in \, \, I_{{\, 1}} SUBSETEQ \, I \,_{{0}}을 만족하고 길이가 1인 구간 I \,_{{1}}을 구하시오. (3점)
  3. (3) x_{{0}} = \, 2를 시작점으로 하는 뉴턴 방법(Newton method)을 이용하여 x_{{1}}을 구하시오. (3점)
  4. (4) x_{{0}} = \, 2, x_{{1}} = \, 3을 시작점으로 하는 할선법(secant method)을 이용하여 x_{{2}}를 구하시오. (3점)

제2문 (10점)

f ( 0 ) = 1, f ( 2 ) = 3, f ( 3 ) = 0인 함수 f에 대하여 물음에 답하시오. (총 10점)
  1. (1) 뉴턴의 분할 차분(Newton’s divided differences)을 이용하여 p_{{2}} ( 0 ) = f ( 0 ), p_{{2}} ( 2 ) = f ( 2 ), p_{{2}} ( 3 ) = f ( 3 )인 2차 보간다항식 p_{{2}} ( x )를 구하시오. (5점)
  2. (2) p_{{3}} ( 0 ) = f ( 0 ), p_{{3}} ( 2 ) = f ( 2 ), p_{{3}} ( 3 ) = f ( 3 )인 3차 보간다항식 p_{{3}} ( x )는 무한히 많이 존재함을 보이시오. (5점)

제3문 (12점)

다음 행렬 A에 대하여 물음에 답하시오. (총 12점)
A = {pmatrix {\, 16 pile {\\} 4 pile {\\} 4 pile {\\} 4 \\ 4 pile {\\} 5 pile {\\} 2 pile {\\} 2 \\ 4 pile {\\} 2 pile {\\} \frac{{9}}{{4}} pile {\\} \frac{{3}}{{2}} \\ 4 pile {\\} 2 pile {\\} \frac{{3}}{{2}} pile {\\} \frac{{11}}{{8}}}}
  1. (1) 행렬 A를 A = U^{{\, t}} U \,의 형태로 표현할 수 있는 4×4 상삼각행렬(upper triangular matrix) U를 구하시오. (단, U^{{\, t}}는 U \,의 전치행렬이고 U \,의 대각성분은 모두 양수이다) (6점)
  2. (2) 1)의 결과를 이용하여 벡터 b = {pmatrix {12 , - 1 , \frac{{5}}{{4}} , \frac{{15}}{{8}}}}^{{t}}에 대해 Ax = b를 만족하는 벡터 x를 구하시오. (6점)

제4문 (16점)

함수 f ( x )의 수치 적분값을 구하는 방법 중의 하나는 주어진 적분 구간 [ \, a , \, b ]에 속하는 n개의 점 t_{{i}} ( i = 1 , \, 2 , \, . . . \, , \, n )와 각 점에 대응되는 가중치(weight) C_{{i \,}} ( i = 1 , \, 2 , \, . . . \, , \, n )를 사용하여
\int_{{a}}^{{b}} {f ( x ) \, dx} \, \approx \sum_{{i = 1}}^{{n}} C_{{i}} \, \, f ( \, t_{{i}} \, )

로 근사(approximate)시키는 것이다. 물음에 답하시오. (총 16점)
  1. (1) n = 2이고, 구간 [ \, a , b ] = [ \, - 1 , \, 1 ]에서
    \int_{{- 1}}^{{1}} {f ( x ) \, dx \,} \approx \sum_{{i = 1}}^{{2}} C_{{i}} \, \, f ( t_{{i}} )

    로 근사시킬 때, f ( x ) = 1, f ( x ) = x, f ( x ) = x^{{2}}, f ( x ) = x^{{3}}인 경우에는 근삿값이 실제 적분값과 일치하는 t_{{1}}, t_{{2}}, C_{{1}}, C_{{2}}의 값을 구하시오. (8점)
  2. (2) 1)의 결과를 이용하여 다음 적분의 수치 적분값을 구하시오. (8점)
    \int_{{- 1}}^{{1}} {\cos \frac{{\pi}}{{\sqrt{{3}}}} x \, \, dx}