5급 공채 2차

2020년 5급 공채 기술 2차 수치해석

문제 4개 · 50점. 참고 답안·채점 기준은 앱에서 볼 수 있습니다.

제1문 (8점)

실수 전체의 집합에서 함수 f \, ( x ) \,의 3계도함수가 연속이라 하자. 또한 실수 전체의 집합에서 | \, f \, \, ' ' ' ( x ) \, |이 유계이고 | \, f \, \, ' ' ' ( x ) \, |의 최댓값이 M \, \,이라 하자. f \, ( x )의 함숫값이 다음 표와 같이 주어져 있다.
x0.81.2
f ( x )0.71.5

f \, ' ( 1 ) \,의 근삿값을 공식 f \, ' ( x ) \approx \frac{{f ( x + h ) - f ( x - h )}}{{2 h}}와 위의 표를 이용하여 구하고, 이때의 오차 한계를 M \, \,을 이용하여 나타내시오. (8점)

제2문 (14점)

다음 행렬 A에 대하여 물음에 답하시오. (총 14점)
A = {bmatrix {1 \, \, - 1 \, \, - 1 \, \, - 1 \\ 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 1 \, \, - 1 \, \, - 1 \\ 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 1 \, \, - 1 \\ 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 1}}
  1. (1) 행렬 A의 역행렬 A_{{}}^{{- 1}}을 구하시오. (4점)
  2. (2) 조건수(condition number) \kappa_{\infty} ( A )를 구하시오. (단, 조건수의 계산에서 벡터 x = [ x_{{1}} , x_{{2}} , x_{{3}} , x_{{4}} ]^{{T}}의 노름은 \left. x \right._{{\infty \,}} = \max \left\{ | x_{{i}} | : i = 1 , 2 , 3 , 4 \right\}를 사용하고, 행렬 A = [ a_{{ij}} ]의 노름은 \left. A \right._{{\infty}} \, = \, \max \left\{ \sum_{{j = 1}}^{{4}} | a_{{ij}} | : i = 1 , 2 , 3 , 4 \right\}를 사용한다) (4점)
  3. (3) \left. b \right._{{\infty}} = 2인 벡터 b에 대하여 연립방정식 Ax = b \, \,의 해를 x \,라 하고, 백터 {\hat{{b}}} = b + [ 0 , 0 , 0 , \, 2^{{- 5}} ]^{{T}} \,에 대하여 연립방정식 A {\hat{{x}}} = {\hat{{b}}} \, \,의 해를 {\hat{{x}}}이라 하자. 2)에서 계산한 조건수를 이용하여 \frac{{\left. {\hat{{x}}} - x \right._{{\infty \,}}}}{{\left. x \right._{{\infty \,}}}}이 \frac{1}{2}이하임을 보이시오. (6점)

제3문 (12점)

다음 경곗값 문제의 근사해를 구하려고 한다.
\left\{ eqalign {\ - y ' ' = \sin ( 8 \pi x^{{2}} ) \, , \, \, \ 0 < x < 1 \\ \\ \, \ y ( 0 ) = 0 \\ \, \, \ \\ \, \, \, \, y ( 1 ) = 1} \right.

구간 [ 0 , 1 ]을 n등분하여 얻은 격자점들을 x_{i} = \frac{i}{n} \, \, ( 0 \le i \le n )라고 하자.
또한, 각 격자점 x_{i}에서의 근사해를 y_{{i \,}}라고 하자. n = 4일 때, 이계 미분을 근사하는 3점중앙유한차분(three-point central finite difference)을 위에 기술한 경곗값 문제에 적용하여 근사해 y_{{1}}, y_{{2}}, y_{{3}}을 구하시오. (12점)

제4문 (16점)

\, x축 위에 서로 다른 좌표 \, x_{{1}} , \, \, x_{{2}} , \, \, . . . \, , \, \, \, x_{{n}}이 주어져 있다. 이 좌표에 대하여 아래의 조건을 만족하는 \, n - 1차 다항식을 L_{{i}} ( x ) \, \, \, \, \, ( \, i = 1 , \, 2 , \, . . . , \, n )라고 하자. 다음 물음에 답하시오. (총 16점)
L_{{i}} ( x_{{j}} ) \, = \, \, \, \, {cases {1 , \, \, \, \, \, \, i \, = \, j \\ 0 , \, \, \, \, \, \, i \, ! = \, j}} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ( \, j = 1 , \, 2 , \, . . . , \, n )
  1. (1) 각 \, i \, = \, 1 , \, \cdots , \, n에 대하여, 다항식 L_{{i}} ( x )가 유일하게 존재함을 보이시오. (6점)
  2. (2) 1)의 결과를 이용하여 다음 행렬 V의 역행렬이 존재함을 보이시오. (10점)
    V = {bmatrix {1 1 1 \cdots 1 \\ x_{{1}} x_{{2}} x_{{3}} \cdots x_{{n}} \\ x_{{1}}^{{2}} x_{{2}}^{{2}} x_{{3}}^{{2}} \cdots x_{{n}}^{{2}} \\ VDOTS VDOTS VDOTS DDOTS VDOTS \\ x_{{1}}^{{n - 1}} x_{{2}}^{{n - 1}} x_{{3}}^{{n - 1}} \cdots x_{{n}}^{{n - 1}}}}