5급 공채 2차

2019년 5급 공채 기술 2차 수치해석

문제 4개 · 50점. 참고 답안·채점 기준은 앱에서 볼 수 있습니다.

제1문 (12점)

어떤 방정식 f ( x ) = 0에 대한 뉴턴 방법(Newton’s method)을 이용하여, r = root {3} of {100}의 근삿값을 구하고자 한다. 초기값을 x_{{0}}로 잡고 이 뉴턴 방법을 n번 적용한 값을 x_{n}, 이때의 오차를 e_{{n}} = \left| x_{{n}} - r \right|이라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (총 12점)
  1. (1) 위의 목적을 이룰 수 있도록 3차 다항식 f ( x )를 하나 찾고, 이때 x_{1}을 x_{{0}}으로 표현하시오. (6점)
  2. (2) x_{n}의 값이 r에 수렴한다고 가정하자. 이때 e_{n}은 근사적으로 e_{{n + 1}} \approx \frac{{1}}{{2}} \left| \frac{{f ' ' ( r )}}{{f ' ( r )}} \right| e_{{n}}^{{2}}을 만족한다. e_{{3}} = 10^{{- 2}}일 때, e_{{n}} < 10^{{- 14}}을 만족하는 n의 최솟값을 구하시오. (6점)

제2문 (10점)

구간 [ 0 , \, 2 \pi ]에서 연속인 함수 f ( x )의 정적분을 다음과 같이 수치적 적분으로 근사하고자 할 때, 물음에 답하시오. (총 10점)
\int_{{0}}^{{2 \pi}} {f ( x )} dx \approx A_{{1}} f ( 0 ) + A_{{2}} \, f ( \pi )
  1. (1) f ( x ) = a + b \, \cos \, x일 때, 좌변의 정적분과 우변의 수치적 적분의 값이 임의의 상수 a, b에 대하여 같도록 하는 상수 A_{{1}}과 A_{{2}}를 구하시오. (4점)
  2. (2) A_{{1}}, A_{{2}}가 1)에서 구한 값들이라고 하자. f ( x ) = \cos ( kx )일 때, 좌변의 정적분과 우변의 수치적 적분의 값이 같도록 하는 자연수 k를 모두 구하시오. (6점)

제3문 (15점)

아래 연립방정식에 대하여 다음 물음에 답하시오. (총 15점)
x + 2 y - 4 z = 3
3 x - y + z = 8
x + 3 y - z = 7
  1. (1) 주어진 순서의 연립방정식에 Gauss-Seidel 반복법을 적용하면, 특정 초기벡터로 시작한 Gauss-Seidel 반복법이 수렴하지 않을 수 있음을 보이시오. (7점)
  2. (2) 임의의 초기벡터에 대해서 항상 Gauss-Seidel 반복법이 수렴하도록 방정식의 순서를 바꾸고, 그 이유를 설명하시오. (4점)
  3. (3) \left[ pile {pile {x_{{0}} \\ y_{{0}}} \\ z_{{0}}} \right] = \left[ pile {pile {2 \\ 3} \\ 2} \right]를 초기벡터로 할 때, 2)에서 얻은 연립방정식에 Gauss-Seidel 반복법을 적용하여 \left[ pile {pile {x_{{1}} \\ y_{{1}}} \\ z_{{1}}} \right]을 구하시오. (4점)

제4문 (13점)

\omega ( x ) \, = \, 2 x \,이고 구간 [ \, 0 \, , \, \, 2 \, ]에서 연속인 함수 f \,와 g \,에 대한 내적을 아래와 같이 정의할 때, 다음 물음에 답하시오. (총 13점)
< \, f \, , \, \, g \, > \, = \, \int_{0}^{2} \, \, f \, ( x ) \, g \, ( x ) \, \omega \, ( x ) \, \, dx \,
  1. (1) 이 내적에 대한 정규 직교다항함수(orthonormal polynomial) p_{0} \, ( x ) \,와 p_{1} \, ( x ) \,를 구하시오. (단, p_{n}은 n차 다항함수이다) (6점)
  2. (2) 위에서 정의한 내적에 대한, 함수 f ( x ) = x^{{3}} \,의 1차 최소제곱 근사다항함수(linear least square polynomial approximation) p \, ( x ) \,를 구하시오. (7점)