2017년 5급 공채 기술 2차 수치해석
문제 4개 · 50점. 참고 답안·채점 기준은 앱에서 볼 수 있습니다.
제1문 (10점)
두 변수 x와 y에 대한 연립방정식이 다음과 같이 주어졌다.
x와 y에 대한 초기값이 x_{{0}} = 1 , \, \, y_{{0}} = \, - 1일 때, Newton 방법을 이용하여 이 연립방정식의 다음 단계의 근사해 x_{{1}}과 y_{{1}}을 구하시오. (10점)
{cases {x^{{2}} + 3 y^{{2}} - 9 = 0 \\ 5 y - 2 x^{{2}} + 20 = 0}}
x와 y에 대한 초기값이 x_{{0}} = 1 , \, \, y_{{0}} = \, - 1일 때, Newton 방법을 이용하여 이 연립방정식의 다음 단계의 근사해 x_{{1}}과 y_{{1}}을 구하시오. (10점)
제2문 (10점)
행렬 A는 3 \times 2 행렬로서 다음과 같이 QR 분해된다. (단, Q는 3 \times 3 직교행렬(orthogonal matrix)이고, R은 3 \times 2 상삼각행렬(upper triangular matrix)이다)
벡터 {b} \, = {pmatrix {2 \\ 1 \\ 2}}일 때, | | \, \, A {x} - {b} \, \, | |_{{2}}이 최솟값을 갖는 벡터 \mathbf{x} = {pmatrix {x \\ y}}를 구하시오. (단, | | \cdot | |_{2}는 유클리드 노름(norm)으로서 | | \, \, {pmatrix {a \\ b \\ c}} \, | |_{{2}} = \sqrt{{a^{{2}} + b^{{2}} + c^{{2}}}}으로 정의한다) (10점)
A = QR = {pmatrix {\frac{{1}}{{\sqrt{{2}}}} \frac{{1}}{{\sqrt{{3}}}} \frac{{1}}{{\sqrt{{6}}}} \\ \frac{{- 1}}{{\sqrt{{2}}}} \frac{{1}}{{\sqrt{{3}}}} \frac{{1}}{{\sqrt{{6}}}} \\ 0 \frac{{- 1}}{{\sqrt{{3}}}} \frac{{2}}{{\sqrt{{6}}}}}} \, {pmatrix {1 2 \\ 0 3 \\ 0 0}}
벡터 {b} \, = {pmatrix {2 \\ 1 \\ 2}}일 때, | | \, \, A {x} - {b} \, \, | |_{{2}}이 최솟값을 갖는 벡터 \mathbf{x} = {pmatrix {x \\ y}}를 구하시오. (단, | | \cdot | |_{2}는 유클리드 노름(norm)으로서 | | \, \, {pmatrix {a \\ b \\ c}} \, | |_{{2}} = \sqrt{{a^{{2}} + b^{{2}} + c^{{2}}}}으로 정의한다) (10점)
제3문 (15점)
f \, ( x ) \, = \, 2 \, x^{3} \, - \, 2 \, x^{2} \, + \, 1 \,이고 g ( x )는 4차 이상의 다항식이라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (총 15점)
- (1) f ' ( 1 )의 근삿값을 간격 h \, = \, 0.1 \,의 중앙차분식(central difference formula)을 이용하여 구하시오. (5점)
- (2) h가 0으로 다가갈 때, g ' ' ( x ) \,의 수치미분식으로서
\frac{{g \, ( x + h ) \, - \, 2 \, g \, ( x ) \, + \, g \, ( x - h )}}{h}^{2} \,가 \frac{{g \, ( x \, + \, 2 h ) \, - \, 2 \, g \, ( x + h ) \, + \, g \, ( x )}}{{h^{2}}} \,보다 더 작은 오차(error)의 크기를 갖는 근사식임을 보이시오. (10점)
제4문 (15점)
초기값 문제 \frac{{dy}}{{dt}} = - 30 \, y , \, \, \, \, y ( 0 ) = 10의 해는 y ( t ) = 10 \, e^{{- 30 t}}이다. 다음 물음에 답하시오. (총 15점)
- (1) Explicit Euler 방법을 사용하여 y ( nh )의 수치해 y_{{h}} ( nh ) \, \, \, ( n = \, 1 , 2 , 3 , \ldots )를 n과 h로만 표현하시오. (단, t의 구간 [ 0 , \infty )를 동일한 간격 h로 분할한다) (10점)
- (2) \lim_{{n - > \infty}} {\, y_{{h}} ( nh ) = \lim_{{n - > \infty}} {\, y ( nh )}}가 성립하기 위한 양수 h의 범위를 구하시오. (5점)