5급 공채 2차

2024년 5급 공채 행정 2차 통계학

문제 3개 · 50점. 참고 답안·채점 기준은 앱에서 볼 수 있습니다.

제1문 (15점)

X_{{1}} , \, \, \ldots , \, \, X_{{n}} \,은 아래의 확률밀도함수(probability density function)를 가지는 확률표본(random sample)이다.
f \, ( x \, ) = \theta x^{{\theta - 1}} , \, \, \, \, 0 \, ＜ x \, ＜ 1 (단, \theta \, > \, 0)

Y_{{i}} = \, - lnX_{{i}} ( i = 1 , \, \, \ldots , \, \, n )이라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (총 15점)
  1. (1) Y_{{i}} \,의 확률분포를 구하시오. (5점)
  2. (2) W = \min ( Y_{{1}} , \, \, Y_{{2}} , \, \, \ldots , \, Y_{{n}} )일 때, 기댓값 E \, ( W \, \, )를 구하시오. (5점)
  3. (3) Z = \max ( X_{{1}} , \, \, X_{{2}} , \, \, \ldots , \, \, X_{{n}} )일 때, 분산 Var ( Z \, )를 구하시오. (5점)

제2문 (15점)

회귀 모형 Y_{{i}} = 2024 + \beta x_{{i}} + \varepsilon_{{i}}, i = 1 , \, 2 , \, \, \ldots , \, \, n에서 오차항 \varepsilon_{i}는 서로 독립이고, 평균 0, 분산 \sigma^{2}인 정규분포를 따른다. 다음 물음에 답하시오. (단, x_{{i}}는 상수) (총 15점)
  1. (1) \beta와 \sigma^{2}의 최대가능도추정량(maximum likelihood estimator) \hat{\beta}과 \hat{\sigma}^{2}을 각각 구하시오. (5점)
  2. (2) 가설 H_{{0}} \, : \, \beta \, = \, 0 대 H_{{1}} \, : \, \beta \, ! = \, 0에 대한 가능도비 검정통계량(likelihood ratio test statistic)
    \, \frac{{L ( {\hat{{\beta}}} , \, \, {\hat{{\sigma^{{2}}}}} )}}{{L ( {\hat{{\beta_{{0 ,}}}}} {\hat{{\, \, \sigma_{{0}}^{{2}}}}} )}}

    을 구하고, 유의수준 \alpha에서 기각역을 구하시오. (단, L ( \beta , \, \, \sigma^{{2 \,}} )은 가능도함수(likelihood function)이고, \hat{\beta}_{0}과 \hat{\sigma}_{0}^{2}은 귀무가설이 참일 때 최대가능도추정량이다) (10점)

제3문 (20점)

확률변수 Y \,의 확률밀도함수는 f_{{Y}} ( y )＝ye^{{- y}}, y > 0이다. Y＝y일 때 X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}, X_{n} + 1의 조건부확률질량함수(conditional probability mass function)는 f_{{X_{{i}} \, vert Y}} \, ( x_{{i}} vert y )＝\frac{{y^{{x_{{i}}}} e^{{- y}}}}{{x_{{i}} !}}, x_{{i}}＝0 , \, \, 1 , \, \, 2 , \, \, \ldots( i = 1 , \, \, 2 , \, \, \ldots , \, \, n + 1 )이고
f_{{X_{{1}} , \, \, \ldots , \, \, X_{{k}} \, vert Y}} \, ( x_{{1}} , \, \, \ldots , \, \, x_{{k}} \, vert y )＝f_{{X_{{1}} vert Y}} \, ( x_{{1}} vert y ) \, \times \, f_{{X_{{2}} vert Y}} \, ( x_{{2}} vert y ) \, \times \, \cdots \, \times \, f_{{X_{{k}} vert Y}} \, ( x_{{k}} vert y ), k＝n , \, \, n + 1

이다. 다음 물음에 답하시오. (총 20점)
  1. (1) 확률 P \, ( X_{{1}} = 0 )을 구하시오. (4점)
  2. (2) X_{{1}} = x_{{1}} , \, \, X_{{2}} = x_{{2}} , \, \ldots , \, X_{{n}} = x_{{n}}이 주어졌을 때, Y \,의 조건부확률밀도함수를 구하시오. (8점)
  3. (3) 조건부확률 P \, ( X_{{n + 1}} = 0 \, vert X_{{1}} = x_{{1}} , \, \, X_{{2}} = x_{{2}} , \, \ldots , \, \, X_{{n}} = x_{{n}} )을 구하시오. (8점)