2022년 5급 공채 행정 2차 통계학

문제 3개 · 50점. 참고 답안·채점 기준은 앱에서 볼 수 있습니다.

제1문 (15점)

두 연속 확률변수 X , \, Y \,의 결합확률분포(joint probability distribution)가 아래 그림의 삼각형 음영 영역에서 균일분포(uniform distribution)를 따른다고 하자. 다음 물음에 답하시오. (단, a > 0) (총 15점)

( 0 , \, 1 )
( - a , \, 0 )
( a , \, 0 )
O
y
x

(1) Y \,의 기댓값 E \, ( Y )와 Y \,의 조건부 기댓값 E \, ( Y \, \, | \, X = x )를 구하시오.
(단, - a < x < a) (10점)
(2) X \,와 Y \,의 공분산 Cov ( X , \, Y \, )를 구하시오. (5점)

제2문 (15점)

4개의 이산 확률변수 X_{{1}}, X_{{2}}, X_{{3}}, X_{{4}}는 서로 독립이고, 각각 아래의 확률분포를 갖는다.

x	1	2	3	4
P \, ( X = x )	\frac{{1}}{{4}}	\frac{{1}}{{4}}	\frac{{1}}{{4}}	\frac{{1}}{{4}}

이들의 최댓값 M, 최솟값 m, 범위 R \,를 각각

M = \max_{{1 \le i \le 4}} X_{{i}}, m = \min_{{1 \le i \le 4}} X_{{i}}, R = M - m

이라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (총 15점)

(1) P \, ( M = 3 )을 구하시오. (3점)
(2) 최솟값 m의 누적분포함수(cumulative distribution function)를 구하시오. (7점)
(3) 범위 R = M - m의 기댓값을 구하시오. (5점)

제3문 (20점)

세 확률변수 X_{1}, X_{2}, X_{{3}}는 서로 독립이며, 각각 정규분포 N \, ( 0 , \, 2^{{2}} )을 따른다. 또한, 확률변수 Y \,는 감마분포 Gamma(\alpha, \beta)를 따른다. 여기서 Gamma(\alpha, \beta)의 확률밀도함수(probability density function)는 다음과 같다.

f ( y ) = \frac{{1}}{{\Gamma \, ( \alpha ) \beta^{{\, \alpha}}}} y^{{\alpha - 1}} \exp \left( - \frac{{y}}{{\beta}} \right), y > 0

T = \sqrt{{\left( \frac{{X_{{1}}}}{{2}} \right)^{{2}} + \left( \frac{{X_{{2}}}}{{2}} \right)^{{2}} + \left( \frac{{X_{{3}}}}{{2}} \right)^{{2}}}}이라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (총 20점)

(1) Y \,의 적률생성함수(moment generating function) M_{{Y}} \, ( t )가 다음과 같이 성립함을 보이시오. (5점)
M_{{Y}} \, ( t ) = ( 1 - \beta t )^{{- \alpha}}, t < \frac{{1}}{{\beta}}
(2) T^{2}의 적률생성함수를 구하시오. (5점)
(3) T \,의 확률밀도함수를 구하시오. (5점)
(4) \Gamma \, \, \left( \frac{{1}}{{2}} \right) = \sqrt{{\pi}}임을 이용하여 T \,의 기댓값을 구하시오. (5점)