5급 공채 2차

2021년 5급 공채 행정 2차 통계학

문제 3개 · 50점. 참고 답안·채점 기준은 앱에서 볼 수 있습니다.

제1문 (10점)

단순선형회귀모형 Y_{{i}} = \alpha + \beta x_{{i}} + \epsilon_{{i}} , \ i = 1 , \, \, 2 , \, \cdots , \, \, n이 주어져 있다고 하자. 다음 물음에 답하시오. (단, \epsilon_{{i}} \sim N ( 0 , \, \, \sigma^{{2}} )을 따르며, 서로 독립이다) (총 10점)
  1. (1) 최소제곱법(method of least squares)을 이용하여 절편과 기울기의 추정량 hatalpha과 hatbeta의 유도과정을 기술하시오. (3점)
  2. (2) E ( {\hat{{\beta}}} )과 Var ( {\hat{{\beta}}} )을 구하는 과정을 기술하시오. (3점)
  3. (3) 소득(x)이 소비지출(Y)에 어떠한 영향을 미치는가를 알아보기 위해 10가구를 임의로 추출하여 조사한 결과 다음과 같은 자료를 얻었다. 최소제곱법에 의해 적합된 회귀식을 구한 후, 소득이 300만 원인 가구의 평균 소비지출 금액의 예측값을 구하시오. (단위:만 원) (4점)
    ○소득:표본평균 \overline{x} = 250, 표본표준편차 s_{x} = 50
    ○소비지출:표본평균 \overline{y} = 200, 표본표준편차 s_{y} = 30
    ○소득과 소비지출의 표본상관계수:r = 0.9

제2문 (15점)

확률변수 X_{1}과 X_{2}가 아래의 결합확률밀도함수(joint probability density function)를 가진다. 다음 물음에 답하시오. (단, \lambda > 0) (총 15점)
f ( x_{{1}} , \, \, x_{{2}} ) = {cases {\lambda^{{2}} e^{{- \lambda ( x_{{1}} + x_{{2}} )}} , \, \, x_{{1}} > 0 , \, \, \, x_{{2}} > 0 \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, , \, \, 그 \, 밖 의 \, \, 경 우}}
  1. (1) Y \, = X_{1} + X_{2}와 Z \, = \frac{X_{1}}{X}_{2}의 결합확률밀도함수를 구하시오. (5점)
  2. (2) 확률변수 Y의 주변확률밀도함수(marginal probability density function)를 구하시오. (5점)
  3. (3) 확률변수 Z의 주변확률밀도함수를 구하시오. (5점)

제3문 (25점)

확률변수 \lambda는 형태모수가 a이고, 척도모수가 b인 감마분포를 따른다. 여기서 a와 b는 알려진 자연수이다. 확률변수 \lambda가 주어졌을 때, 두 확률변수 X와 Y는 서로 독립이고, 모수가 \lambda인 포아송분포를 각각 따른다. 즉, 모수가 \lambda인 포아송분포의 확률질량함수는 다음과 같다.
f ( y | \lambda ) \, = \, \frac{{e^{{- \lambda}} \lambda^{{y}}}}{{y !}} , \, \, \, y = 0 , \, 1 , \, 2 , \, \cdots

또한 형태모수가 a이고, 척도모수가 b인 감마분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.
f ( \lambda | a , \, \, b ) \, = \, \frac{{b^{{a}}}}{{\Gamma ( a )}} \lambda^{{a - 1}} e^{{- b \lambda}} , \, \, \, \, \lambda \, \ge 0

그리고 X = x가 주어졌을 때, \lambda의 조건부분포는 형태모수가 a + x이고, 척도모수가 b + 1인 감마분포를 따른다. 다음 물음에 답하시오. (총 25점)
  1. (1) f ( y \, | x ) = \, \int_{{}}^{{}} {} f ( y | \lambda ) f ( \lambda | x ) d \lambda을 증명하시오. (10점)
  2. (2) X = x가 주어졌을 때, Y의 조건부분포를 유도하는 계산 과정을 기술하고, 분포의 명칭을 기술하시오. (15점)