5급 공채 2차

2019년 5급 공채 행정 2차 통계학

문제 3개 · 50점. 참고 답안·채점 기준은 앱에서 볼 수 있습니다.

제1문 (20점)

확률변수X와 Y는 서로 독립이고, X의 확률밀도함수(probability density function) f_{{X}} ( \, ․ \, )와 Y의 확률밀도함수 f_{{Y}} ( \, ․ \, )는 다음과 같다.
f_{{X}} ( x ) = \lambda e^{{- \lambda x}} , x > 0 (단, \lambda는 양의 상수)
f_{{Y}} ( y ) = \lambda^{2} y e^{{- \lambda y}} , y > 0 (단, \lambda는 양의 상수)

다음 물음에 답하시오. (총 20점)
  1. (1) V = \frac{{X}}{{X + Y}}와 W = X + Y는 서로 독립임을 보이고, V의 확률밀도함수를 구하시오. (10점)
  2. (2) 임의의 양의 값 x_{0}이 주어졌을 때, E ( X_{{}} | X > x_{{0}} )을 구하시오. (5점)
  3. (3) 확률변수X와 Y가 각각 x와 y로 관측되었을 때, \lambda의 최대가능도추정량(maximum likelihood estimator)을 구하시오. (5점)

제2문 (15점)

양의 값을 가지는 연속확률변수 T \,에 대하여 위험함수(hazard function) h ( t )는 다음과 같이 정의된다.
h ( t ) \, = \, \lim_{{\delta - > 0}} {\frac{{P ( t \le T < t + \delta \, | T \ge t )}}{{\delta}}}

다음 물음에 답하시오. (총 15점)
  1. (1) T \,의 확률밀도함수와 누적분포함수(cumulative distribution function)를 각각 f ( t )와 F ( t )라고 할 때, 위험함수 h ( t )는 다음과 같음을 보이시오. (5점)
    h ( t ) \, = \frac{{f ( t )}}{{1 - F ( t )}}
  2. (2) T \,의 확률밀도함수 f ( t )가 다음과 같을 때,
    f ( t ) = \frac{{2 t}}{{\beta^{{2}}}} e^{{- t \,^{{2}} / \beta \,^{{2}}}} , \ \ t > 0 (단, \beta는 양의 상수)

    T \,의 위험함수 h ( t )를 구하시오. (4점)
  3. (3) T \,의 위험함수가 h ( t ) = 1 + 2 t , \, \, \, t > 0일 때, T \,의 누적분포함수를 구하시오. (6점)

제3문 (15점)

한 시설은 출입 보안을 강화하기 위하여 새로운 출입 시스템을 도입하였다고 한다. 시설 출입을 위한 출입문의 잠금장치 표시창에는 네 개의 버튼이 있고, 이 중 한 버튼을 누르면 바로 비밀번호를 입력하는 화면으로 가게 되고, 다른 세 버튼 중 하나를 누르면 일시적으로 잠금장치가 활성화되어 1시간을 기다려야 다시 네 개의 버튼이 보이는 표시창이 나타난다. 버튼을 누르고 화면이 전환되는데 걸리는 시간을 0이라고 가정하고, 네 개의 버튼 중에서 바로 비밀번호를 입력하는 화면으로 가는 버튼의 위치는 매번 임의로 바뀌어 이 버튼을 누를 확률은 항상 1/4로 동일하다고 하자. 비밀번호를 해킹하는데 X 시간이 걸리며, X는 \alpha = 1이고 \beta = 3인 감마분포를 따르고 감마분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.
f ( x ) = \frac{{1}}{{\Gamma ( \alpha ) \, \beta^{{\, \alpha}}}} \, \, x^{{\alpha - 1}} \, \, e^{{- x / \beta}} \, , \, \, \, \, x > 0 \, (단, \alpha와 \beta는 양의 상수)

여기서, \Gamma ( \alpha ) = \int_{{0}}^{{\infty}} {x^{{\alpha - 1}} e^{-} x dx}이다. 다음 물음에 답하시오. (총 15점)
  1. (1) 불법으로 시설침입을 시도하는 어떤 사람 A가 바로 비밀번호를 입력하는 화면으로 가게 되는 버튼을 눌렀을 때, 비밀번호를 해킹하는데 걸리는 평균 시간을 구하시오. (4점)
  2. (2) 어떤 사람 B가 불법으로 시설에 침입하는데 걸리는 평균 시간을 구하시오. (6점)
  3. (3) 어떤 사람 C가 불법으로 시설에 침입하는데 0.5시간 이상 걸릴 확률을 구하시오. (단, e^{{- 1 / 6}}은 0.85로 계산할 것) (5점)