2018년 5급 공채 행정 2차 통계학
문제 3개 · 50점. 참고 답안·채점 기준은 앱에서 볼 수 있습니다.
제1문 (15점)
다음은 확률변수 X와 Y의 결합확률분포표이다.
다음 물음에 답하시오. (총 15점)
| X Y | －1 | 0 | 2 | 합계 |
| －1 | a | 0.1 | b | 0.4 |
| 0 | c | d | e | f |
| 1 | 0.2 | g | 0.1 | h |
| 합계 | i | 0.4 | j | 1 |
다음 물음에 답하시오. (총 15점)
- (1) E ( X \, ) = 0, E ( Y \, ) = 0, Cov ( X , Y \, ) = 0이라고 할 때 위의 분포표를 완성하시오. (7점)
- (2) X \, \,와 Y \, \,는 서로 독립인지 아닌지 밝히고 그 이유를 설명하시오. (3점)
- (3) 사건 A를 X \ge 0인 사건이라 할 때 E ( X \left| A ) \right)를 구하시오. 단, 1)에서 결합확률분포표를 완성하지 못한 경우에는 주어진 기호를 이용하여 구하는 식을 구체적으로 제시하시오. (5점)
제2문 (15점)
두 개의 설명변수 x_{1}과 x_{2}에 따른 반응변수 y \,의 변화를 알아보기 위하여 다음과 같은 다중선형회귀모형을 적합하였다.
(단, 오차항은 평균이 0이고 분산이 \sigma^{2}인 정규분포를 따르며 서로 독립이다)
수집한 총 10개의 데이터를 통해 ( X^{{T}} X )^{{- 1}} = {bmatrix {\frac{1}{10} \, \, \, \, 0 \, \, \, \, 0 \\ 0 \, \, \, \, \frac{1}{20} \, \, \, \, 0 \\ 0 \, \, \, \, 0 \, \, \, \, \frac{1}{8}}}, X^{{T}} {\mathbf{y}} = \left[ pile {pile {108 \\ 32} \\ 14} \right]임을 알 수 있었다. 여기서 X는 설명변수 값들로 구성된 열들을 포함하는 ( 10 \times 3 ) 크기의 계획행렬(design matrix)이고, {X}^{{T}}는 이 계획행렬의 전치행렬(transpose matrix)이며, {\mathbf{y}}는 반응변수의 값들로 구성된 ( 10 \times 1 ) 크기의 벡터이다. 위의 ( {{X^{{T}} X}} )^{{- 1}}와 {{X^{{T}} {\mathbf{y}}}}를 이용하여 다음 물음에 답하시오. (총 15점)
모형: y_{{i}} = \beta_{{0}} + \beta_{{1}} x_{{1 i}} + \beta_{{2}} x_{{2 i}} + \epsilon_{{i}} , \ \, i = 1 , \cdots , 10.
(단, 오차항은 평균이 0이고 분산이 \sigma^{2}인 정규분포를 따르며 서로 독립이다)
수집한 총 10개의 데이터를 통해 ( X^{{T}} X )^{{- 1}} = {bmatrix {\frac{1}{10} \, \, \, \, 0 \, \, \, \, 0 \\ 0 \, \, \, \, \frac{1}{20} \, \, \, \, 0 \\ 0 \, \, \, \, 0 \, \, \, \, \frac{1}{8}}}, X^{{T}} {\mathbf{y}} = \left[ pile {pile {108 \\ 32} \\ 14} \right]임을 알 수 있었다. 여기서 X는 설명변수 값들로 구성된 열들을 포함하는 ( 10 \times 3 ) 크기의 계획행렬(design matrix)이고, {X}^{{T}}는 이 계획행렬의 전치행렬(transpose matrix)이며, {\mathbf{y}}는 반응변수의 값들로 구성된 ( 10 \times 1 ) 크기의 벡터이다. 위의 ( {{X^{{T}} X}} )^{{- 1}}와 {{X^{{T}} {\mathbf{y}}}}를 이용하여 다음 물음에 답하시오. (총 15점)
- (1) 추정된 다중선형회귀모형식을 구하시오. (5점)
- (2) 추정된 회귀모형에 대한 다음의 분산분석표를 완성하시오. (3점)
<표 1> 분산분석표요인 제곱합 자유도 F 회귀 76 (1) (3) 잔차 35 (2) - (3) 설명변수 x_{1}의 회귀계수 \beta_{{1}}에 대한 95% 신뢰구간을 구하시오. (3점)
<표 2> t－분포의 위치값 t_{{\alpha}}\alpha 자유도 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.05 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 0.025 12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228
(단, t－분포를 따르는 확률변수 T에 대하여 P ( T \ge t_{\alpha} ) = \alpha이다) - (4) 오차항의 분산 \sigma^{2}의 최우추정값(maximum likelihood estimate)을 구하시오. (4점)
제3문 (20점)
확률변수 X_{{1}} , \cdots , X_{{n}}은 서로 독립이며 모두 구간 (0, 1)에서 균일분포를 따르고 확률변수 U_{{i}} (i = 1 , \cdots , n)와 S_{{n}}은 아래와 같이 정의한다.
다음 물음에 답하시오. (총 20점)
U_{{i}} = {cases {1 , \ \ X_{{i}} \le 1 / n \ 일 \ 때 \\ 0 , \, \ \ X_{{i}} > 1 / n \ 일 \ 때}}
S_{{n}} = U_{{1}} + \cdots + U_{{n}}
S_{{n}} = U_{{1}} + \cdots + U_{{n}}
다음 물음에 답하시오. (총 20점)
- (1) E ( U_{{1}} )을 구하시오. (3점)
- (2) P ( S_{{4}} = 1 )을 구하시오. (4점)
- (3) n = 4일 때, 조건부 확률 P ( X_{{1}} \le \frac{{1}}{{4}} \left| S_{{4}} = 3 ) \right)을 구하시오. (6점)
- (4) Y_{{i}} = - \log ( 1 - X_{{i}} ), i = 1 , \cdots , n이라고 할 때 Y_{{1}}의 확률밀도함수를 구하시오. (단, \log는 자연로그를 의미한다) (7점)