2017년 5급 공채 행정 2차 통계학

문제 3개 · 50점. 참고 답안·채점 기준은 앱에서 볼 수 있습니다.

제1문 (15점)

하나의 동전을 세 번 던졌을 때 나오는 앞면의 수를 X, 처음 두 번의 시행에서 나오는 뒷면의 수를 Y라 하자. 다음 물음에 답하시오. (총 15점)

(1) X와 Y의 결합확률분포표를 작성하시오. (4점)
(2) P ( 1 \le X \le 3 , \, \, \, 0 \le Y < 2 )를 구하시오. (3점)
(3) E ( X + Y )를 구하시오. (3점)
(4) 두 확률변수 X와 Y의 상관계수를 구하시오. (5점)

제2문 (20점)

X_{{1}} , \, \, X_{{2}} , \, \, \cdots , \, X_{{n}}(n \ge 30)을 성공확률이 p인 베르누이분포로부터의 확률표본이라고 할 때, 다음의 가설을 검정하려고 한다.

H_{0} : \, p = p_{0} vs H_{{1}} : \, p > p_{{0}}

다음 물음에 답하시오. (단, z_{\alpha}는 표준정규분포의 상위 100 \, \alpha－백분위수를 나타낸다) (총 20점)

(1) 위의 가설에 대한 제1종 오류의 확률이 \alpha인 기각역을 구하시오. (5점)
(2) 표본 성공비율(\hat{p} = \frac{Y}{n})의 관측값이 w로 주어질 때, 유의확률(p-값)을 \Phi ( \cdot )를 이용하여 나타내시오. (단, \Phi ( \cdot )는 표준정규분포의 누적분포함수이고, Y = \sum_{i} = 1^{n} X_{i}이다) (7점)
(3) 위의 검정에서 H_{1} : \, p \, \, = p_{1} ( > p_{0} )일 때, 제1종 오류의 확률이 \alpha이고 제2종 오류의 확률이 \beta 이하가 되게 하는 최소 표본의 크기(n)를 구하는 식을 쓰시오. (8점)

제3문 (15점)

설명변수 X_{1}(나이)과 X_{2}(소득)를 가지고 반응변수 Y(신용도)를 예측하기 위해 다음과 같은 두 가지 회귀모형을 고려하여 분산분석표와 추정값을 구하였다. 다음 물음에 답하시오. (총 15점)
모형 1:y_{{i}} = \beta_{{0}} + \beta_{{1}} x_{{1 i}} + \epsilon_{{i}}, i = 1 , \, 2 , \, \cdots , \, n, \epsilon_{{i}} \, \sim N ( 0 , \, \, \sigma^{{2}} )

요인	자유도	제곱합	평균제곱	F－값	p－값
회귀	1	30	30	6.857	0.0186
잔차	16	70	4.375	6.857	0.0186
계	17	100

변수	모수추정치	표준오차	t－값	p－값
절편	1.31	0.52	2.519	0.0228
X_{1}	0.34	0.13	2.619	0.0186

모형 2:y_{{i}} = \beta_{{0}} + \beta_{{2}} x_{{2 i}} + \epsilon_{{i}}, i = 1 , \, 2 , \, \cdots , \, n, \epsilon_{{i}} \, \sim N ( 0 , \, \, \sigma^{{2}} )

요인	자유도	제곱합	평균제곱	F－값	p－값
회귀	1	20	20	4	0.0628
잔차	16	80	5	4	0.0628
계	17	100

변수	모수추정치	표준오차	t－값	p－값
절편	2.35	0.68	3.456	0.0032
X_{2}	0.64	0.32	2	0.0628

(1) 모형 1에서 결정계수 R^{2}을 구하고, 그 의미를 설명하시오. (4점)
(2) 모형 2에서 설명변수 X_{2}에 대한 회귀계수의 유의성을 검정하기 위한 가설을 설정하고 유의수준 5%에서 검정결과를 기술하시오. (4점)
(3) X_{1}과 X_{2}의 상관계수가 0일 때 모형 y_{{i}} = \beta_{{0}} + \beta_{{1}} x_{{1 i}} + \beta_{{2}} x_{{2 i}} + \epsilon_{{i}}, i = 1 ,2 , \, \cdots , \, n에 대한 아래의 분산분석표를 완성하고, \beta_{{1}}과 \beta_{2}의 추정치를 구하시오. (7점)
요인 자유도 제곱합 평균제곱 F－값
회귀
잔차
계