명제 논리와 참·거짓 판단

핵심 정리

명제는 참인지 거짓인지를 가릴 수 있는 문장이다. ‘고래는 포유류이다.’처럼 내용이 객관적으로 맞거나 틀린 문장이 명제이며, 명제 논리는 이러한 문장들이 서로 어떤 관계로 이어지는지를 따져 결론의 참·거짓을 판단하는 방법이다. 개별 문장의 뜻보다 문장 사이의 연결 구조가 판단의 뼈대가 된다.

논리실증주의자들은 명제를 분석 명제와 종합 명제로 나누었다. 단어의 뜻과 단어 사이의 논리적 관계만으로 참·거짓을 가릴 수 있으면 분석 명제이고, 경험적 지식이 있어야 가릴 수 있으면 종합 명제이다. 예컨대 ‘모든 총각은 결혼하지 않았다.’는 분석 명제이고, ‘모든 백조는 하얗다.’는 종합 명제이다.

조건 명제 ‘A이면 B이다’를 다룰 때 기본이 되는 규칙은 대우이다. ‘A이면 B이다’라는 명제가 참이면 그 대우 명제도 참이다. 원래 명제를 직접 따지기 어려울 때 대우를 확인하면 같은 결론을 얻을 수 있으므로, 대우는 판단을 다른 경로로 이어 주는 도구이다. ‘A 또는 B’는 A와 B 가운데 적어도 하나가 참이어야 성립한다. 그러므로 ‘A 또는 B’가 참인데 A가 거짓이면 B가 참이라는 결론이 나온다. 이것이 선언 추론의 기본 틀이다.

보편진술 ‘모든 F는 G이다’에 대해 보편진술은 반례 하나로 거짓임을 밝힐 수 있지만 참임을 확정할 수는 없다. 그래서 반증은 참을 증명하는 방법이 아니라 거짓을 밝히는 방법으로 쓰인다. ‘모든’이 붙은 문장은 참을 증명하기보다 반례가 있는지 찾는 방향으로 따져야 한다.

자세히

대우와 명제의 참·거짓

원래 명제를 확인하기 어려울 때 대우를 살펴보는 이유는 분명하다. ‘p이면 q’의 대우인 ‘q가 아니면 p가 아니다’는 원래 명제와 참·거짓이 같다. 대우 쪽을 먼저 확인하면 원래 명제의 참·거짓도 같은 결과로 가릴 수 있다. 대우는 앞뒤를 맞바꾸고 두 부분을 모두 부정한 명제이다. 이와 달리 앞뒤만 바꾼 역 ‘B이면 A이다’와 두 부분을 부정하되 맞바꾸지는 않은 이 ‘A가 아니면 B가 아니다’는 원래 명제와 참·거짓이 같다고 볼 수 없다. 그러므로 조건 명제를 만나면 먼저 대우의 형태인지 확인해야 한다.

보편진술의 반증과 검증

‘모든 F는 G이다’를 거짓으로 만들려면 F이면서 G가 아닌 사례 하나가 있으면 된다. 이 사례가 반례이며, 반례는 F이면서 G가 아닌 것이어야 한다. 과학 이론도 같은 틀로 볼 수 있다. 이론이 예측한 현상이 발생하지 않았음이 확인되면 그 이론은 반증된다. 이때 예측이 빗나간 사례가 이론을 무너뜨리는 반례가 된다.

반대로 예측한 현상이 발생했다는 사실이 확인되어도 이론이 참으로 검증되는 것은 아니며, 참일 확률이 높아졌다고 결론 내릴 수도 없다.